Ознаки подібності трикутників.

Ознаки подібності трикутників.

Розглянемо ознаки подібності трикутників та наслідки з них.

1) Ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого і кути, утворені цими сторонами рівні, то трикутники подібні.

Якщо  (мал. 327).

Наслідок 1. Прямокутні трикутники подібні, якщо катета одного з них пропорційні катетам другого.

Наслідок 2. Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту при вершині.

2) Ознака подібності трикутників за двома кутами.

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого, то такі трикутники подібні.

Якщо  (мал. 327).

Наслідок 1. Рівносторонні трикутники подібні.

Наслідок 2. Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту при основі.

Наслідок 3. Прямокутні трикутники подібні, якщо вони мають по рівному гострому куту.

3) Ознака подібності трикутників за трьома сторонами.

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого, то такі трикутники подібні.

Якщо  (мал. 327).

Приклад 1. Сторони одного трикутника дорівнюють 18 см, 30 см і 36 см, а сторони другого відносяться, як 3:5:6, Чи подібні ці трикутники?

Розв’язання. Позначимо сторони другого трикутника 3х, 5х і 6х. Оскільки  то трикутники подібні (за трьома сторонами).

Приклад 2. О - точка перетину діагоналей трапеції АВСD з основами АВ i СD. АВ = 18 см; DС = 6 см; DО = 5 см. Знайдіть ОВ.

Розв’язання. 1) АОВ = СОD (як вертикальні).

2) АВО = СDО (внутрішні різносторонні для паралельних прямих АВ і СD та січної ВD).

3) Тому ∆АОВ  ∆СОD (за двома катетами) і OB/OD = AB/CD. Маємо ОВ/5 = 18/6; ОВ = 15 (см).

Приклад 3. Пряма МN паралельна стороні АВ трикутника АВС, М  АС; N  ВС. АВ = 5 см; МN= 2 см; МА = 4 см. Знайти АС.

Розв’язання. 1) СMN = СAB (відповідні кути для паралельних прямих АВ і MN та січної СB).

2) СNМ = СВА (відповідні кути для паралельних прямих АВ і МN та січної СB).

3) Тоді ∆СМN  ∆САB (за двома кутами); тому CM/CA = MN/AB.

4) Позначимо СМ = х см, тоді  x = 8/3 (см).

5) Отже, 

Приклад 4. За даними малюнка 330 знайдіть відношення ВD/АВ.

Розв’язання. 1) Для ∆СВD і ∆САВ С - спільний.

3) Тому ∆СВD  ∆САВ (за двома сторонами кутом між ними) і BD/AB = CD/BC.

Отже, BD/AB = 0,8.