Многокутник та його елементи.

Многокутник та його елементи.

Розглянемо фігуру А₁ А₂ А₃ А₄ А₅ А₆, зображену на малюнку 269. Вона складається з відрізків А₁A₂, А₂А₃, А₃А₄, А₄А₅, А₅А₆ і А₆А₁. При цьому вони розміщені так, що суміжні відрізки (А₁А₂ і А₂А₃, А₂А₃ і А₃А₄, ..., А₆ А₁ і А₁А₂) не лежать на одній прямій, а несуміжні відрізки не мають спільних точок.

Тому фігуру називають многокутником. Точки А₁, А₂, ..., А₆ називають вершинами многокутника, а відрізки А₁А₂, А₂А₃, ..., А₆А₁ - сторонами многокутника. Суму довжин усіх сторін многокутника називають периметром многокутника.

Найменше число сторін (а також вершин) многокутника - три. У такому випадку маємо трикутник. Також окремим видом многокутника є чотирикутник. Многокутник з n сторонами (вершини) називають n-кутником. На малюнку 269 зображено шестикутник А₁ А₂ А₃ А₄ A₅ А₆.

Дві сторони многокутника називають сусідніми, якщо вони мають спільну вершину; якщо ж сторони многокутника не мають спільної вершини, їх називають не сусідніми. Так, наприклад, сторони А₃А₄ і А₄ А. - сусідні, а А₂А₃ і А₁А_а- не сусідні (мал. 269).

Дві вершини многокутника називають сусідніми, якщо вони належать одній стороні, якщо ж вершини многокутника не належать одній стороні, їх називають не сусідніми. Так, наприклад, вершини А₁ і А₂ - сусідні, А₃ і А₆ - не сусідні (мал. 269).

Відрізок, що сполучає дві несусідні вершини многокутника, називають діагоналлю многокутника. На малюнку 270 зображено діагоналі многокутника A₁ А₂ А₃ А₄ А₅ А₆ А₇, що виходять з вершин А₁: А₁А₃, А₁А₄, А₁А₅, А₁А₆.

Приклад 1. Скільки діагоналей має n-кутник?

Розв’язання. З кожної вершини n-кутника виходить (n-3) діагоналі. Всіх вершин n, а кожна діагональ повторюється 2 рази, наприклад, А₁ А₃ і А₃ А₁. Тому всіх діагоналей у n-кутнику буде(n(n - 3))/2.

Приклад 2. Кількість діагоналей n-кутника на 25 більша за кількість його сторін. Знайдіть n

Розв’язання. Використовуючи формулу попереднього приклада та умову цього приклада, маємо (n(n - 3))/2 - n = 25. Враховуючи n > 0, отримаємо n = 10.

Кути, сторони яких містять сторони многокутника, називають кутами многокутника.