Основні поняття стереометрії.

Основні поняття стереометрії.

Стереометрія - це розділ геометрії, який вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

В стереометрії основними поняттями є точка, пряма і площина. Ці поняття є первинними у курсі стереометрії, їх вводять без означень і називають неозначуваними поняттями. Поняття точки і прямої нам відомі з курсу планіметрії

Уявлення про частину площини дає поверхня стола, шибки, стелі тощо Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою; вона не має краю та не має товщини. На малюнках зображують тільки частину площини або у вигляді паралелограма (мал. 351), або у вигляді довільної замкненої області (мал. 352) Позначають площини грецькими буквами: α, β, γ тощо.

Основні фігури стереометрії: точка, пряма, площина.

Точки позначають великими латинськими літерами: А, В, С₁, С₂, С₃, …. і так далі.

Прямі позначають маленькими латинськими літерами:  а, b, с₁, с₂, с₃, …. і так далі.

Площини позначають маленькими грецькими літерами:  j, δ, α, β, γ, ω, …. і так далі.

Аксіома 1. (встановлює непорожність точкового простору). Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать цій площині.

Аксіома 2. (встановлює фігуру, яка лежить у перетині двох площин). Якщо дві різіні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Аксіома 3. (встановлює правило утворення однієї площини) Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Наслідки із аксіом.

Простір складається із безлічі точок.

Через три точки проходить тільки одна площина.

Через пряму і точку можна провести одну і тільки одну площину.

Через чотири точки, що не належать одній площині, можна провести чотири площини. Такі чотири точки визначають: просторовий чотирикутник; вершини трикутної піраміди.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі.

 Дві прямі у просторі перетинаються в одній точці; в багатьох точках;

Дві прямі у просторі не перетинаються і лежать в одній площині – це паралельні прямі;

Дві прямі у просторі не перетинаються і не лежать в одній площині – це мимобіжні прямі.

Взаємне розміщення двох площин у просторі.

Дві площини у просторі не перетинаються – ці площини паралельні.

Дві площини у просторі перетинаються по прямій.

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі.

Пряма і площина мають одну спільну точку;

Пряма і площина не мають спільних точок – це пряма паралельна плошині;

Пряма і площина мають дві і більше спільних точок – це пряма лежить у площині;

Аксіоми стереометрії, їх наслідки. Взаємне поло­ження двох прямих.

1.    Через дві точки можна провести ... площин.

2.    Через три точки можна провести ... площин.

3.    Якщо дві площини мають спільну точки, то вони ...

4.    Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони ...

3. Через три промені, які виходять з однієї точки, можна провести ... площин, якщо .. .

4. Через дану точку в просторі можна провести ... пря­мих, паралельних даній площині.

5. Якщо пряма АВ паралельну пл. a, то на площині можна зна­йти ... прямих, паралельних АВ.

Паралельність прямої і площини.

Пряма і площина можуть: перетинатися в одній точці; бути паралельними; перетинатися у багатьох точках.

Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності прямої і площини. Якщо пряма, що не належить площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Властивість. Якщо через пряму, паралельну площині, провести другу площину, яка перетинає першу, то пряма перетину площин паралельна першій площині.

 Паралельність прямої і площини.

1. Відстань між двома протилежними ребрами куба з ребром а дорівнює ...

2. Твердження: «Якщо дві паралельні прямі однієї площини паралельні двом паралельним прямим другої площини, то такі площини паралельні  є ...

3. Різних пар паралельних ребер у кубі буде ...

4. Різних пар паралельних ребер у паралелепіпеді . ..

5. Якщо пряма а лежить на площині a, а пряма b пе­ретинає a, не перетинаючись з а, то через прямі а і b площину провести .. . (можна, не можна).

6. З точки Е проведено 2 промені, що перетинають паралельні прямі а і b відповідно в точках А, В і С, D. Якщо DА = 10 см, АВ = 5 см і АС = 6 см, то BD = …

Основні властивості паралельних проекцій

З двох тверджень:

1) Якщо проекції двох прямих паралельні, то і самі прямі паралельні.

2) Якщо проекції двох прямих перпендикулярні, то і самі прямі перпендикулярні, вірним буде тверджен­ня ...

Проекцією паралелограму на площину може бути ... (паралелограм, квадрат, прямокутник, трикутник, трапе­ція, пряма)1.

Проекцією кола на площину може бути ...

При побудові площини, яка проходить через дану точку, паралельно двом заданим прямим, можуть тра­питись такі випадки: ...

Щоб перетнути куб площиною, яка проходить через три (чотири, шість) точки, розміщені на мимобіжних ребрах його, треба виконати побудову ...