Означення правильного многокутника.

Означення правильного многокутника.

Правильним многокутником називають опуклий многокутник, у якого всі сторони рівні і всі кути рівні.

Прикладами правильних многокутників є рівносторонній трикутник (мал. 273) і квадрат (мал. 274). На малюнку 275 зображений правильний шестикутник.

Нехай α_n - внутрішній кут правильного т-кутника. Легко бачити, що

Наприклад, за цією формулою: кут правильного трикутника:

правильного чотирикутника (квадрата):

що узгоджується з відомим раніше.

Приклад 1. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, якщо його внутрішній кут дорівнює 150°.

Розв’язання. Маємо α_n = 150°; 150° = (180º(n - 2))/n; 150°n = 180°n - 360°; 30°n = 360°; n = 12. Отже, кількість сторін правильного многокутника дорівнює 12.

Приклад 2. Знайдіть периметр правильного многокутника, сторона якого дорівнює 4 см, а зовнішній кут на 108° менший за внутрішній.

Розв’язання. 1) Нехай внутрішній кут правильного многокутника дорівнює α_n, тоді зовнішній -α_n -108°.

2) Оскільки внутрішній і зовнішній кути многокутника є суміжними, то α_n + α_n - 108° = 180°; 2α_n = 288°; α_n = 144°.

3) Маємо рівняння для кількості сторін n правильного многокутника 144° = (180º(n - 2))/n. Звідки n = 10.

4) Периметр многокутника Р = 4 ∙ 10 = 40 (см).