Вписані в коло та описані навколо кола правильні многокутники.

Вписані в коло та описані навколо кола правильні многокутники.

Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло і в нього можна вписати коло. Зауважимо, що:

1) коло, описане навколо правильного многокутника, і коло, вписане у нього, мають один і той самий центр;

2) коло, вписане у правильний многокутник, дотикається до сторін многокутника у їх серединах.

Нехай α_n - сторона правильного n-кутника; R - радіус кола описаного навколо цього n-кутника, а r - радіус кола, вписаного в цей n-кутник. У наступну таблицю систематизуємо формули, що пов’язують між собою будь-які дві з розглянутих трьох величин.

Приклад 1. Знайдіть радіуси кіл, описаного навколо правильного трикутника та вписаного в нього, якщо їх різниця дорівнює 4 см. Чому дорівнює сторона цього трикутника.

Розв’язання. 1) Позначимо R = х см, тоді r = (х - 4) см.

2) За відомою формулою r = R/2 маємо х - 4 = x/2; х = 8 см.

3) Отже, 

Приклад 2. Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює 2 см, а радіус кола, описаного навколо нього 4 см. Знайдіть периметр многокутника.

Розв’язання. 1) Нехай n - кількість сторін правильного многокутника.

2) За відомою формулою маємо 

Враховуючи 

3) Отже, маємо шестикутник а₆ = R = 4 см.

4) Периметр Р = 6 - а₆ = 6 ∙ 4 = 24 (см).

КОНТРОЛЬНИЙ ТЕСТ № 6.

1. Два кути трапеції дорівнюють 39° і 152°. Знайти менший кут трапеції.

2. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини гострого кута утворює кут 32° із стороною. Знайти тупий кут трапеції.

3. Основи трапеції дорівнюють 7 см і 15 см, а висота 3 см. Знайти довжину бічної сторони трапеції.

4. У трапеції основи відносяться як 2:3, а середня лінія дорівнює 10 см. Знайти довжину бічної основи.

5. Чотирикутник АВСD вписаний в коло. Градусна міра кута А на 20° менша градусної міри кута С. Знайти градусну міру кута С.

6. Коло вписане в трапецію, середня лінія якої дорівнює 5 см. Знайти периметр трапеції.

7. Скільки сторін має опуклий многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів на 2160° більша за суму зовнішніх.

8. Скільки всього діагоналей має дванадцятикутник?

9. Чому дорівнює зовнішній кут правильного восьмикутника?

10. Периметр квадрата на 6 см більший за суму трьох його сторін. Знайти радіус кола, описаного навколо квадрата.

11. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 17 см, а висота — 8 см. Знайти (у см) периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 9 см.

12. Радіус кола, вписаного у правильний многокутник дорівнює 2 см, а радіус кола, описаного навколо нього - 4 см. Знайти (у см) периметр правильного многокутника.