Банк задач для домашнього завдання з геометрії 9 клас

Банк задач для домашнього завдання з геометрії  9 клас

Геометрія       9 клас

Домашнє завдання 1. Банк задач на властивості трапеції

1.Центр кола, описаного навколо трапеції, належить більшій основі. Знайдіть кути трапеції, якщо основи відносяться як  1:2 .

2. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут і середню лінію на відрізки  13 см і  23 см. Знайдіть площу  трапеції.

3. Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а висота дорівнює 10. Знайдіть площу цієї трапеції.

4. Коло, вписане у прямокутну трапецію, ділить точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки завдовжки  4 см і  25 см. Знайдіть площу трапеції.

Домашнє завдання 2. Банк задач на властивості паралелограмів

1.Бісектриса гострого кута паралелограма ділить протилежну сторону у відношенні 3:4 ,  рахуючи від вершини тупого  кута. Периметр паралелограма дорівнює 80 см. Знайдіть  його сторони.

2.Доведіть, що чотирикутник АВСD  з вершинами в точках А(3; -1) , В(2;  3), С(-2;  2), D(-1; -2 ) є прямокутником. Знайдіть довжини сторін та діагоналей  даного чотирикутника АВСD.  

3.Знайдіть площу паралелограма, діагоналі якого дорівнюють  8 см і  10 см та одна з діагоналей перпендикулярна до  сторони.

4.Чотирикутник АВСD  з вершинами в точках А(4; -4) , В(2;  4), С(-2;  6).  Знайти координату вершини D, якщо АВСD – паралелограм. Скільки розв’язків має задача? Знайдіть периметр та площу чотирикутника АВСD  .

5. Чотирикутник АВСD  з вершинами в точках А(4; -2) , В(2;  8), С(-2;  2), D(-4 -6 ). Знайдіть рівняння двох прямих, на яких лежать діагоналі  даного чотирикутника.  Знайти площу  АВСD.

Домашнє завдання 3. Банк задач на властивості трикутників

1.Катети прямокутного трикутника відносяться як  20 :  21, а різниця між радіусами описаного та вписаного кіл дорівнює  17 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

2.Сторони трикутника дорівнюють  3 см і  5 см, а кут між ними  120°.  Знайдіть площу подібного йому трикутника,  периметр якого дорівнює 30 см.

3.Трикутник АВС   з вершинами в точках А(4; -4) , В(2;  4), С(-2;  6).  Знайти координату  точки перетину медіан трикутника АВС.   Знайдіть периметр трикутника.

4.Центр кола, вписаного у рівнобедрений трикутник, ділить  висоту, проведену до основи, на відрізки, довжини яких  дорівнюють  5 см і 13 см. Знайдіть периметр трикутника.

Домашнє завдання 4. Банк задач на властивості трикутників

1. Точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник,  ділить катет на відрізки завдовжки  2  см і  3 см, рахуючи  від прямого кута. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

2. Сторона трикутника дорівнює  10 см, а медіани, проведені до двох інших сторін,  - 9 см і  12 см. Знайдіть площу трикутника.

3. Трикутник АВС   з вершинами в точках А(4; -8) , В(6;  4), С(-8;  6).  Знайти рівняння трьох  прямих, на яких лежать сторони трикутника АВС.   

4. Знайдіть рівняння кола, описаного навколо трикутника АВС з вершинами в точках А(2;  9), В(11; 0), С(-5; -4) .

5. 3 точки кола проведено дві перпендикулярні хорди, різниця між довжинами яких 4 см. Знайдіть ці хорди, якщо радіус кола дорівнює  10 см.

Домашнє завдання 5. Банк задач на властивості трикутників

1. Бісектриса кута А трикутника  АВС  перетинає описане  навколо нього коло в точці К. Точка І  центр вписаного в трикутник АВС кола. Доведіть, що КІ  = КВ  =  КС.

2. Медіана СМ трикутника АВС дорівнює m і утворює зі сторонами СА і СВ кути q і р відповідно. Знайдіть сторони СА і СВ.

3. Доведіть, що точка перетину бісектриси кута А трикутника АВС і серединного перпендикуляра до сторони ВС належить колу, описаному навколо трикутника АВС.

4. Знайдіть площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють  1 см і  15^0,5 см, а медіана, яка проведена до третьої сторони, дорівнює 2 см.

5. Числа m_a, m_b,  m_c виражають довжини медіан деякого трикутника. Доведіть, що коли виконується рівність  m_a² + m_b²  = 5m_c²  , то трикутник є прямокутним.

ОЗНАЧЕННЯ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА І КОТАНГЕНСА ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ.

ОЗНАЧЕННЯ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА І КОТАНГЕНСА ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ.

3. Кут довільної величини.

Розглянемо одиничне коло. Радіус ОА, де А(1;0) назвемо початковим радіусом (мал. 10).

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки. Тоді радіус ОА займе положення ОВ. Кажуть, що кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° за рухом годинникової стрілки; отримаємо радіус ОС. В цьому випадку кажуть, що кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 10 стрілками показано кути повороту 50° і -50°. Взагалі, при повороті початкового радіусу проти годинникової стрілки, кут повороту вважається додатнім, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 11).

Кут повороту може бути будь-яким дійсним числом. На малюнку 12 показано кути повороту 120° і 170°.

Щоб позначити кут повороту 225°, спочатку повернемо початковий радіус ОА на 180° проти руху годинникової стрілки, а потім ще на 45° в тому самому напрямі (180° + 45° = =225°). На малюнку 13 стрілкою показано кут повороту 225°.

Якщо початковий радіус зробить повний оберт проти руху годинникової стрілки, то кут повороту дорівнюватиме 360° (мал. 14).

На малюнку 15 показано кут повороту -330°, а на малюнку 16 — кут повороту 440°.

Нехай при повороті на кут 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 17). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Таким чином зробимо висновок про те, що радіус ОА переходить в радіус ОВ й при повороті на кути 40° + 360° = 400° і 40° - 360° = -320° та й узагалі при повороті на кут 40° + +360°k, де k — будь-яке ціле число (k  Z).

З іншого боку, будь-який кут а можна подати у вигляді α = α₀ + 360°k, де 0 ≤ α₀ < 360°, k — ціле число.

Наприклад: 1100° = 20° + 360° ∙ 3 ; - 640° = 80° + 360° ∙ (-2).

З геометрії відомо, що координатні осі поділяють координатну площину на чотири чверті (мал. 18). Якщо при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, то залежно від того, в якій координатній чверті буде цей радіус, кут а називають кутом цієї чверті.

Приклад. Кутом якої чверті є кут:

1) α = 1999°; 2) β = -2010°.

Розв’язання. 1) Оскільки α = 1999° = 199° + 360° ∙ 5, то α = 1999° — кут III чверті.

2) Оскільки (3 = -2010° = 150° + 360°(- -б), то р = -2010° — кут II чверті.



Паралельність площин.

Паралельність площин.

1. Дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

На малюнку 381 площини α і β паралельні, це позначають так: α || β.

Важливою є ознаки паралельності площин:

1. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

На малюнку 382: а  α; b  α;  За ознакою паралельності площин зробимо висновок про те, що α || β.

Наслідок. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини паралельні іншій, то площини паралельні.

2. Дві площини, паралельні третій, паралельні між собою.

Також випливає наступна теорема.

Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну другій, і до того ж тільки одну.



Розміщення двох площин у просторі.

Розміщення двох площин у просторі.

З аксіоми С_III відомо, що якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Звідси випливає, що можливі два випадки розміщення площин:

1) площини перетинаються по прямій (мал. 380);

2) площини не мають спільних точок (мал. 381).



Розміщення прямої і площини у просторі.

Розміщення прямої і площини у просторі.

Якщо дві точки прямої належать площині, то за аксіомою С_II всі точки прямої належать площині, або, інакше кажучи, вся пряма належить площині. Пряма і площина можуть мати одну спільну точку або не мати спільних точок взагалі. Отже, можливі три випадки розміщення прямої і площини:

1) пряма належить площині (мал. 372).

2) пряма і площина мають одну спільну точку, тобто перетинаються (мал. 373).

3) пряма і площина не мають спільних точок (мал. 374).



Прямі у просторі.

Прямі у просторі.

Як відомо з курсу планіметрії, для двох прямих на площині можливі лише два випадки їх взаємного розміщення: або вони перетинаються, або вони паралельні.

У просторі можливий ще один випадок розміщення. Розглянемо малюнок 364. Прямі АD/span>і D₁С₁ не мають спільних точок, крім того вони і не паралельні. В такому випадку кажуть, що дві прямі не лежать в одній площині, тобто не існує такої площини, яка проходить через обидві ці прямі.

Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

На малюнку 364 прямі АD і D₁С₁ - мимобіжні.

У планіметрії ці фігури, які ми розглядали, розміщувались на одній площині. У стереометрії можна ж розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цим означення паралельних прямих потребує уточнення.

Дві прямі в просторі називають паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Паралельність прямих а і b позначають так само, як і в планіметрії: аllb.

Отже, у просторі можливі три випадки взаємного розміщення двох прямих:

1) прямі лежать в одній площині і мають спільну точку - прямі, що перетинаються (мал. 365).

2) прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок - паралельні прямі (мал. 366).

3) прямі не лежать в одній площині - мимобіжні прямі.

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Сформулюємо найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

1. Через пряму і точку, що не лежать на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну(мал. 359).

2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну (мал.360).

З аксіоми С_IV та розглянутих наслідків випливає, що площину можна задавати:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що не лежить на ній;

3) двома прямими, що перетинаються.

Ще один спосіб задавання площини буде розглянуто у подальшому.

Приклад. Дано площину α і паралелограм АВСD. Чи може площині а належати: 1) тільки одна вершина паралелограма; 2) тільки дві вершини паралелограма; 3) тільки три вершини паралелограма?

Розв’язання. 1) Так (мал. 361); 2) так (мал. 362);

3) Припустимо, що може бути розташування площини ос і паралелограма АВСD, при якому три вершини паралелограма А, В і D належать площині α, а вершина С - ні (мал. 363). Проведемо діагоналі АС і ВD. За властивістю діагоналей паралелограма, вони перетинаються в точці О. Оскільки B  α і D  α, то ВD  α, а тому і точка О належить α. Оскільки А  α і О  α, то АО α. Оскільки точка С належить прямій АО, а пряма АО належить площині α, то і точка С належить площині α. Тому наше припущення не вірне. Не можуть тільки три вершини паралелограма АВСDналежати площині α.



Аксіоми стереометрії.

Аксіоми стереометрії.

Всі аксіоми, введені нами у розділі І, §2, виконуються у стереометрії.

У планіметрії усі фігури, які ми розглядали, розміщалися на одній площині. У стереометрії ж можна розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цих формулювання аксіоми паралельності площин (див. розділ І, §5, п. 1), потребує уточнення у порівнянні з викладом її у курсі стереометрії. Це уточнення буде подано у §2.

Введення у стереометрії нового поняття - площини потребує розширення системи аксіом аксіомами, які б виражали властивості точок, прямих і площин у просторі. Введемо нову групу аксіом - групу аксіом С.

С_I. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.

На малюнку 353 точка М і N належать площині α (площина α проходить через ці точки), а точки С, К і L - не належать цій площині. Для запису цього, як і планіметрії, використовують значки  і . Наприклад, М  α; К  α.

С_ІI. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки прямої належать цій площині.

У цьому випадку кажуть, що пряма належить площині, або площина проходить через пряму. На малюнку 354 точки С і D прямої m належать площині α, тому і пряма m, якій належать ці точки, належить площині α.

Це записують так: m  α. Запис n  α означає, що пряма n не належить площині α (мал. 355 і мал. 356), тобто існує така точка прямої n, яка не належить площині α. На малюнку 355 пряма nта площина мають спільну точку К. Говорять, що пряма n і площина α перетинаються в точці К. Це записують так: n  α = К.

Якщо через пряму m проходять дві різні площини α і β, то говорять, що площини α і βперетинаються по прямій m (мал. 357); записують це так: α  β = m.

С_III. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

На малюнку 357 площини α і β мають спільну точку Р (точка Р належить як площині α, так і площині β, яка в свою чергу, належить прямій m. Аксіома С_III стверджує, що площини α і βперетинаються по прямій m.

С_ІV. Через будь-які три точки, які не належать одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

На малюнку 358 точки А, В і С не належать одній прямій. Аксіома С_IV стверджує, що існує одна площина а така, що А  α, В  α, С  α.



Основні поняття стереометрії.

Основні поняття стереометрії.

Стереометрія - це розділ геометрії, який вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

В стереометрії основними поняттями є точка, пряма і площина. Ці поняття є первинними у курсі стереометрії, їх вводять без означень і називають неозначуваними поняттями. Поняття точки і прямої нам відомі з курсу планіметрії

Уявлення про частину площини дає поверхня стола, шибки, стелі тощо Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою; вона не має краю та не має товщини. На малюнках зображують тільки частину площини або у вигляді паралелограма (мал. 351), або у вигляді довільної замкненої області (мал. 352) Позначають площини грецькими буквами: α, β, γ тощо.

Основні фігури стереометрії: точка, пряма, площина.

Точки позначають великими латинськими літерами: А, В, С₁, С₂, С₃, …. і так далі.

Прямі позначають маленькими латинськими літерами:  а, b, с₁, с₂, с₃, …. і так далі.

Площини позначають маленькими грецькими літерами:  j, δ, α, β, γ, ω, …. і так далі.

Аксіома 1. (встановлює непорожність точкового простору). Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать цій площині.

Аксіома 2. (встановлює фігуру, яка лежить у перетині двох площин). Якщо дві різіні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Аксіома 3. (встановлює правило утворення однієї площини) Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Наслідки із аксіом.

Простір складається із безлічі точок.

Через три точки проходить тільки одна площина.

Через пряму і точку можна провести одну і тільки одну площину.

Через чотири точки, що не належать одній площині, можна провести чотири площини. Такі чотири точки визначають: просторовий чотирикутник; вершини трикутної піраміди.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі.

 Дві прямі у просторі перетинаються в одній точці; в багатьох точках;

Дві прямі у просторі не перетинаються і лежать в одній площині – це паралельні прямі;

Дві прямі у просторі не перетинаються і не лежать в одній площині – це мимобіжні прямі.

Взаємне розміщення двох площин у просторі.

Дві площини у просторі не перетинаються – ці площини паралельні.

Дві площини у просторі перетинаються по прямій.

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі.

Пряма і площина мають одну спільну точку;

Пряма і площина не мають спільних точок – це пряма паралельна плошині;

Пряма і площина мають дві і більше спільних точок – це пряма лежить у площині;

Аксіоми стереометрії, їх наслідки. Взаємне поло­ження двох прямих.

1.    Через дві точки можна провести ... площин.

2.    Через три точки можна провести ... площин.

3.    Якщо дві площини мають спільну точки, то вони ...

4.    Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони ...

3. Через три промені, які виходять з однієї точки, можна провести ... площин, якщо .. .

4. Через дану точку в просторі можна провести ... пря­мих, паралельних даній площині.

5. Якщо пряма АВ паралельну пл. a, то на площині можна зна­йти ... прямих, паралельних АВ.

Паралельність прямої і площини.

Пряма і площина можуть: перетинатися в одній точці; бути паралельними; перетинатися у багатьох точках.

Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності прямої і площини. Якщо пряма, що не належить площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Властивість. Якщо через пряму, паралельну площині, провести другу площину, яка перетинає першу, то пряма перетину площин паралельна першій площині.

 Паралельність прямої і площини.

1. Відстань між двома протилежними ребрами куба з ребром а дорівнює ...

2. Твердження: «Якщо дві паралельні прямі однієї площини паралельні двом паралельним прямим другої площини, то такі площини паралельні  є ...

3. Різних пар паралельних ребер у кубі буде ...

4. Різних пар паралельних ребер у паралелепіпеді . ..

5. Якщо пряма а лежить на площині a, а пряма b пе­ретинає a, не перетинаючись з а, то через прямі а і b площину провести .. . (можна, не можна).

6. З точки Е проведено 2 промені, що перетинають паралельні прямі а і b відповідно в точках А, В і С, D. Якщо DА = 10 см, АВ = 5 см і АС = 6 см, то BD = …

Основні властивості паралельних проекцій

З двох тверджень:

1) Якщо проекції двох прямих паралельні, то і самі прямі паралельні.

2) Якщо проекції двох прямих перпендикулярні, то і самі прямі перпендикулярні, вірним буде тверджен­ня ...

Проекцією паралелограму на площину може бути ... (паралелограм, квадрат, прямокутник, трикутник, трапе­ція, пряма)1.

Проекцією кола на площину може бути ...

При побудові площини, яка проходить через дану точку, паралельно двом заданим прямим, можуть тра­питись такі випадки: ...

Щоб перетнути куб площиною, яка проходить через три (чотири, шість) точки, розміщені на мимобіжних ребрах його, треба виконати побудову ...

ЗРАЗКИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ.

ЗРАЗКИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ.

Завдання з вибором однієї правильної відповіді.

Завдання 1-60 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний.

1. Прямі c i d паралельні (мал. 333). Знайти градусну міру кута х.

2. Прямі а і b паралельні (мал. 334). Знайти градусну міру кута х.

3. Сума двох сторін трикутника 65 см, а довжина третьої становить 60% цієї суми. Знайти периметр трикутника.

4. Кути трикутника відносяться як 2:3:7. Знайти середній за величиною кут трикутника.

5. Один з кутів, що утворився при перетині двох прямих на 20° менший за інший. Знайти кут між прямими.

6. Знайти градусну міру кута х на малюнку 335.

7. Прямі а, b, с попарно перетинаються в точках А, В, С (мал. 336). Знайти градусну міру кута ВАС.

8. У трикутнику АВС: А = 70°, ВК - бісектриса трикутника; АВК = 25°. Знайти градусну міру кута С.

9. У трикутнику АВС: A = 80°, В = 40°. З вершини А і С проведено бісектриси трикутника, що перетинаються в точці О. Знайти градусну міру кута АОС.

10. Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС з основою АС дорівнює 110º (мал. 337). Знайти градусну міру кута АВС.

11. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведено висоту ВD. Знайти периметр трикутника АВD, якщо ВD = 6 см, а периметр трикутника АВD дорівнює 24 см.

12. Трикутник, периметр якого дорівнює 28 см, ділиться відрізком, що з’єднує вершину трикутника з точкою протилежної сторони, на два трикутника, периметри яких дорівнюють 14 см і 20 см. Знайти довжину відрізка.

13. Вказати вид трикутника, два кута якого дорівнюють 80° і 20°.

14. Відстань між центрами двох кіл дорівнює 10 см, а радіуси кіл дорівнюють 6 см і 7 см. Встановити взаємне розташування двох кіл.

15. АВ - діаметр кола, точка М - належить колу, AВМ = 60°; ВМ = 3 см. Знайти довжину кола.

16. Довжина кола дорівнює 8π см. Знайти площу круга, обмеженою цим колом.

17. Точки А, В, С, D лежать на колі; АС - діаметр цього кола. (мал. 338). Знайти величину кута СВD, якщо ACD = 30°.

18. Знайти найменшу сторону чотирикутника, периметр якого дорівнює 48 см, а сторони пропорційні числам 2; 3; 4 і 7.

19. Знайти більший кут паралелограма, якщо сума трьох його кутів дорівнює 216°.

20. Бісектриса кута паралелограма перетинає його сторону під кутом 42°. Знайти більший кут паралелограма.

21. Бісектриса гострого кута А паралелограма АВСD ділить сторону ВС на відрізки ВК = 5 см іКС = 2 см (мал. 339). Знайти периметр паралелограма АВСD.

22. Які з наведених тверджень правильні?

I. Якщо в чотирикутнику кожний з внутрішніх кутів дорівнює протилежному, то цей чотирикутник є паралелограмом.

II. Якщо в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні, то чотирикутник є ромбом.

III. Якщо діагоналі чотирикутника рівні і точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник є прямокутником.

23. Діагональ ромба утворює з його стороною кут 20°. Знайти тупий кут ромба.

24. Радіус кола описаного навколо прямокутника дорівнює 4 см, а гострий кут між діагоналями прямокутника дорівнює 30°. Знайти площу прямокутника.

25. Площа квадрата дорівнює 16 см². Знайти площу круга, вписаного у квадрат.

26. Чотирикутник АВСD описаний навколо кола. АВ = 8 см, ВС = 6 см, СD = 10 см. Знайти довжину сторони АD.

27. Чотирикутник АВСD вписаний у коло, причому кут А утричі менший за кут С. Знайти градусну міру кута А.

28. Висота рівнобічної трапеції, що проведена з вершини гострого кута, утворює з бічною стороною кут 32°. Знайти різницю тупого і гострого кутів трапеції.

29. Два кути трапеції дорівнюють 70° і 140°. Знайти градусну міру найменшого кута трапеції.

30. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8. (мал. 340). Знайти cos α.

31. Знайти довжину сторони ВС трикутника ABC, якщо A = 45°, C = 30°, АВ = 2 см.

32. В ∆АВС АВ = 6 см; C = 135°. Знайти радіус кола, описаного навколо ∆АВС .

33. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 5 см, а гострий кут 60º. Знайти більшу діагональ паралелограма.

34. Сторони трикутника, одна з яких на 3 см менша за іншу, утворюють кут 60°, а довжина третьої сторони дорівнює 7 см. Знайти периметр трикутника.

35. Одна із сторін трикутника в  раз більша за іншу. Ці сторони утворюють кут 150°, а довжина третьої дорівнює 2 см. Знайти довжину найменшої сторони трикутника.

36. Бічна сторона гострокутного рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а висота, проведена до цієї сторони, - 6 см. Знайти довжину основи трикутника.

37. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 16 см і 6 см, а бічна сторона - 13 см. Знайти висоту трапеції.

38. З точки М, яка розташована поза колом з центром у точці О, проведено дотичну МА, де А — точка дотику та січну, що проходить через точку О (мал. 341) МА = 4 см, МN = 2 см. Знайти радіус кола.

39. Точка К - середина катета ВС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС, гіпотенуза якого АВ дорівнює 12 см. Знайти відстань від точки К до гіпотенузи.

40. ЕР - середня лінія трапеції АВСD з основами АD і ВС. ЕF перетинає BD в точці N, ЕN = 4см; NF = 3 см. Знайти більшу основу трапеції.

41. Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а його проекція на гіпотенузу - 2 см. Знайти гіпотенузу трикутника.

42. АD - бісектриса трикутника АВС: ВD = 6 см; DС = 4 см. Знайти сторону трикутника АВ, якщо вона на 3 см довша за АС.

43. Хорда АВ, довжина якої 8 см, перетинається з хордою СD в точці Т. АТ = 2 см, СТ = 3 см. Знайти довжину хорди СD.

44. Сума всіх кутів опуклого многокутника дорівнює 1800°. Знайти кількість сторін цього многокутника.

45. Точка К - середина сторони квадрата АВСD (мал. 342), площа якого дорівнює 32 см². Знайти площу зафарбованої частини.

46. У прямокутник АВСD вписано два круги одного й того самого радіуса (мал. 343). Знайти площу прямокутника, якщо площа одного круга дорівнює 9π см².

47. Господарю потрібно зорати город, що має форму прямокутної трапеції. Розміри городу вказано на малюнку 344. Оранка трактором ділянки площею 100 м² коштує 12 грн. Скільки грошей (у грн.) повинен заплатити господар трактористу за оранку всього городу?

48. Площа трикутника АВС дорівнює 48 см². На стороні АВ цього трикутника позначена точка К так, що АК:КВ = 1:2. Знайти площу трикутника АКС.

49. Знайти градусну міру внутрішнього кута правильного десятикутника.

50. В коло, радіус якого дорівнює 4 см вписано правильний трикутник. Знайти сторону трикутника.

51. Хорда, довжина якої 4 см, стягує дугу кола, градусна міра якої 60°. Знайти довжину кола.

52. Знайти площу чотирикутника АВСD (мал. 345), сторони АВ і СD якого паралельні вісі.

53. Знайти відстань відстань від точки А(-3; 4) до початку координат.

54. Точка М(-2; 3) належить колу з центром у точці Q(4; 3). Знайти діаметр кола.

55. Указати рівняння кола з центром у точці Q2(-1; 2), що проходить через точку Р(3; 5).

56. Знайти точку симетричну точці А(-1; 2) відносно осі ординат.

57. Знайти координати вектора , якщо А(-1; 4), В(-7; -4).

58. На малюнку 346 зображено вектори  і . Який з наведених векторів дорівнює вектору  + ?

59. Відомо, що || = 2, || = 3. Якому значенню не може дорівнювати скалярний добуток векторів  і ?

60. При якому значенні х вектори  (х;-2) і  (4;1) перпендикулярні?

Завдання на встановлення відповідностей.

У завданнях 1-5 до кожного з рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою.

1. Встановити відповідність між довжинами сторін трикутника (1-4) та його видом (А-Д).

1 3 см; 3 см; 3 см

2 3 см; 4 см; 5 см

3 4 см; 4 см; 5 см

4 2 см; 3 см; 4 см

А гострий різносторонній

Б рівнобедрений

В прямокутний

Г рівносторонній

Д тупокутний

2. На малюнку 347 зображено рівнобедрену трапецію АВСD, у якої АВ = 4 см; СD = 2 см; АС = 5 см. Установити відповідність між проекцією відрізка на пряму (1-4) та довжиною проекції (А-Д).

 

1 проекція відрізка СІ) на пряму АВ

2 проекція відрізка СВ на пряму АВ

3 проекція відрізка АС на пряму АВ

4 проекція відрізка АВ на пряму АС

А 3 см

Б 2,8 см

В 2,4 см

Г 2 см

Д 1 см

3. На малюнку 348 зображено прямокутний трикутник ABC, гіпотенуза якого дорівнює 4, а гострий кут 30°. На гіпотенузі АВ цього трикутника побудовано рівносторонній трикутник АВК. Встановити відповідність між площами заданих фігур (1-4) й числовими значеннями площ (А-Д).

 

1 площа трикутника АВК

2 площа трикутника АВС

3 площа фігури АКВС

4 площа трикутника АКС

А 2

Б 3

В 4

Г 6

Д 12

4. На малюнку 349 зображено вектори , , ,  у прямокутній системі координат. Установити відповідність між парою векторів (1-4) і твердженнями (А-Д), що є правильними для цієї пари.

 

А вектори колініарні

Б скалярний добуток векторів більший за нуль

В вектори перпендикулярні

Г вектори рівні

Д кут між векторами тупий

5. Установити відповідність між рівняннями прямих (1-4) та їхніми зображеннями у Декартовій системі координат (А-Д).

 

Завдання з короткою відповіддю.

1. Різниця градусних мір двох зовнішніх кутів при вершинах гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 40°. Знайти (у градусах) менший внутрішній кут трикутника.

2. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 5 см і 12 см. Знайти (у см) довжину меншого катета трикутника.

3. У ∆АВС C = 90°; соs A = 0,6; A = 0,6°; АС = 9. Знайдіть АВ.

4. У ∆АВС величина кута А більша за величину кута В у два рази. Довжини сторін, протилежних цим кутам, дорівнюють відповідно 6 см і 4 см. Знайти (у см) довжину третьої сторони.

5. У прямокутному трикутнику медіани, проведені до катетів дорівнюють  i . Знайти гіпотенузу трикутника.

6. У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 4 см і 5 см. Знайти (у см) площу трикутника.

7. Сторони трикутника дорівнюють 11 см; 25 см; і 30 см. Знайти середню за величиною висоту трикутника.

8. З однієї точки кола проведено дві хорди завдовжки 10 см і 12 см. Знайти радіус кола, якщо відстань від середини меншої хорди до більшої хорди дорівнює 4 см.

9. Один з кутів паралелограма дорівнює 60°, а менша діагональ 2 см. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки перетину діагоналей до більшої сторони, дорівнює /2см. Знайти (у см) меншу сторону паралелограма.

10. Периметр ромба дорівнює 16 см, а його діагональ розбиває ромб на два рівносторонніх трикутники. Знайти (у см) радіус кола, вписаного у ромб.

11. Вершини прямокутника, вписаного в коло, ділять його на чотири дуги. Знайти (у см) відстань від середини однієї з більших дуг до найближчої вершини прямокутника, якщо його сторони дорівнюють 7 см і 24 см.

12. У рівнобічну трапецію вписано коло. Точка дотику кола ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 5 см. Знайти (у см) периметр трапеції.

13. Периметри подібних многокутників відносяться як 2 і 3, а різниця їхніх площ дорівнює 20 см². Знайти (у см²) площу меншого з подібних многокутників.

14. На стороні АВ трикутника АВС вибрано точку М так, що АСМ = AВС, АМ = 3, МВ = 3. Знайти АС.

15. Опуклий n-кутник має 27 діагоналей. Знайти n.

16. Прямокутник зі сторонами 2 дм і 2,6 дм розрізали на квадрати зі стороною 0,2 дм. Скільки утворилося квадратів?

17. Знайти довжину медіани ВN трикутника АВС, якщо А(3; 0), В(-8;1), С(5;12).

18. Знайти кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки А(-3;2) і В(2;0).

19. Обчислити скалярний добуток векторів, зображених на малюнку 350.

20. Для векторів  i відомо, що  Знайдіть (у градусах) кут між векторами  i .