пʼятниця, 2 січня 2015 р.

Властивості прямої, через аналітичні формати прямої на площині

Модуль 1

РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ
Пряма лінія в прямокутній системі координат може бути записана у  різних формах одного і того ж рівняння першого степеня. Переглянемо усі найпопулярніші форми запису рівняння прямої.
Рівняння прямої
в прямокутній системі координат
з кутовим коефіцієнтом
у = kx + b,
де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох,  при цьому k, x,  b – довільні числа.
В математиці, зокрема в теорії функцій це рівняння задає так звану  лінійну функцію, графіком якої є пряма лінія. В арифметиці чисел цим рівнянням задають послідовність чисел, яку називають арифметична прогресія, зрозуміло, що k, bдовільні числа,  х – натуральні числа(номер члена прогресії).  У фізиці такими рівняннями задають  та описують рівномірні процеси, наприклад, рівномірний рух  транспорту по прямій. Ще в теорії цілих чисел цим рівнянням задають послідовність чисел, які при ділення на ціле k мають остачу  b, зрозуміло, що kдільник числа у, bостача,  х – неповна частка.
Приклади: 1) якщо k = 0, b = 0, то
у = 0
 - це рівняння вісі абсцис Ох;
2) якщо k = 0, b ≠ 0, то
у = b
 - це рівняння прямих, що паралельні до осі  абсцис і проходять через точку (0;  b);
3) якщо k = 1, b = 0, то
у = х
- це рівняння  прямої, що є бісектрисою першої  та третьої координатних чвертей);
4) якщо k = -1, b = 0, то
у = - х
 - це рівняння  прямої, що є бісектрисою другої  та чевертої координатних чвертей);
5) якщо k = 2, b = 0,  х = n – цілі числа, то
у = 2n
- це рівняння  парних чисел;
6) якщо k = 2, b = -1,  х = n – цілі числа, то
у = 2n-1
- це рівняння  непарних чисел;
7) якщо k = 6, b = -1,  х = n – цілі числа, то
у = 6n-1
 - це рівняння  цілих чисел, які при діленні на 6 дають остачу 5;
8) якщо k = 6, b = +1,  х = n – цілі числа, то
у = 6n+1
- це рівняння  цілих(непарних) чисел, які при діленні на 6 дають остачу 1;
9) якщо k = 15, b = +1,  х = n – цілі числа, то
у = 15n+1
 - це рівняння  цілих(парних і непарних) чисел, які при діленні на 3 і на 5 дають остачу 1;


Модуль 2
ВЛАСТИВОСТІ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ
З КУТОВИМ КОЕФІЦІЄНТОМ.

Рівняння прямої
в прямокутній системі координат
з кутовим коефіцієнтом
у = kx + b,
де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох,  при цьому k, x,  b – довільні числа.
Властивості прямої:
1.  Точка (0;  b) – це точка перетину прямої з віссю Оу ординат;  
2.  Точка (-b:k; 0) – це точка перетину прямої з віссю Оx абсцис;  
3.  Якщо 0 < k  <1, то кут j - гострий кут від 0 градусів до 45 градусів ,
4.  Якщо k=1, тоді кут  j = 45 градусів;
5.   якщо 1< k< + , то кут j - гострий кут від 45 градусів до 90 градусів;
6.  Якщо -1 < k < 0, то кут j - тупий кут від 90 градусів до 135 градусів ,
7.  Якщо k= -1, тоді кут  j = 135 градусів;
8.   якщо  - ∞ < k < -1, то кут j - тупий кут від 135 градусів до 180 градусів;
9.   Якщо маємо два рівняння
m1: у = k1x + b1,
m2: у = k2x + b2,
тоді  m1 || m2 (дві паралельні прямі), якщо
 k1 = k2b1 b2.
10.                  Якщо маємо два рівняння
m1: у = k1x + b1,
m2: у = k2x + b2,
тоді  m1 ^ m2 (дві перпендикулярні  прямі),  якщо
 k1k2,= -1,  b1 і b2 – довільні числа.
11.                  Якщо маємо два рівняння
m1: у = k1x + b1,
m2: у = k2x + b2,
тоді тангенс кута b між двома прямими  m1 і m2 (дві непаралельні прямі) обчислюється за формулою:
tgj =|(k1 - k2):(1+ k1 k2)|.

12.                  Умова перпендикулярності двох прямих
1:k1 = - k2.
13.                  Умова перетину двох прямих
k1 ≠  k2.
14.                  Умова накладання двох прямих
k1k2b1 = b2.
15.                  Умова перетину двох прямих
k1k2b1 = b2.
16.                  Якщо маємо два рівняння
m1: у = k1x + b1,
m2: у = k2x + b2,
тоді кутовий коефіцієнт рівняння бісектриси між двома прямими  m1 і m2 (дві непаралельні прямі) обчислюється за формулою:
kбісек = tgj = [k1(1+ k22)0,5 + k2(1+ k12)0,5]:[(1+ k12)0,5 + (1+ k22)0,5]
17.                  Якщо маємо два рівняння
m1: у = k1x + b1,
m2: у = k2x + b2,
тоді кутовий коефіцієнт рівняння ординальної прямої, (це пряма, що ділить навпіл усі відрізки між двома прямими  m1 і m2, при умові, що ці відрізки паралельні осі ординат ) обчислюється за формулою:
kордин = tgj = 0,5(k1+ k2).



Модуль 3
ФОРМИ ЗАПИСУ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

Рівняння прямої
що проходить через дану точку М(хм; ум)
у – ум = k(х - хм),
де k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох
Рівняння прямої
що проходить через дві дані точки
М(хM; уM) і NN; уN)
(у – уM):(уN – уM)  = (х – хM):N – хM),
у = (х - хм)(уN ум):(хN - хм) + ум,
Умова належності трьох точок
Аа; уа), Вb; уb), Cc; уc)
одній прямій
хауb + хbуc + хcуa - хcуb хaуc хbуa = 0.
Відстань між двома точками М(хM; уM) і NN; уN)
обчислюється за формулою:
МN =[(хN - хM)2+(уN - уM)2]0,5.

Рівняння прямої у відрізках(канонічна форма)
x:а + y:b = 1,
де а і b довжини відрізків , як відтинає пряма на осях координат, починаючи від точки (0; 0).

Нормальне рівняння прямої
xсоsа + ysinаp = 0,
де р довжина перпендикуляра від точки (0; 0) до даної прямої , а – це кут між  перпендикуляром р і додатним  напрямом осі Ох
Загальне рівняння прямої
аx + by + c = 0
де а2+ b2 0
n(a; b)  - нормальний вектор(перпендикулярний до прямої).

Модуль 4

Властивості загального рівняння прямої
Деякі випадки рівняння прямої:
1)              якщо  с = 0, то аx + by = 0 - це рівняння прямої, що проходить через початок координат.
2)             якщо  b = 0(a ≠ 0), то x = -c:a - це рівняння прямої, що паралельна осі ординат Оу і проходить через точку (-c:a; 0) .
3)             якщо b = 0, a ≠ 0, с = 0, то x = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю ординат Oy.
4)             якщо  а = 0, b ≠ 0, с = 0, то y = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю абсцис Ох.
5)             якщо  b 0 (a = 0), то x = -c:b - це рівняння прямої, що паралельна осі абсцис Ох і проходить через точку (0;-c:b) .
Відстань від точки М(хм; ум) до прямої
xсоsа + ysinа – p = 0
d = |хм соsа + ум sinа – p|
Відстань від точки М(хм; ум) до прямої
аx + by + c = 0
d = |aхм + bум + c|:(а2+ b2)0,5.
Кут  між двома прямими
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
обчислюється за формулами:
tgj =|(а2b1 + b2а1):(а1a2 + b1b2)|;
cosj =|а1a2 + b1b2|:[(а12 + b12)0,5(а22 + b22)0,5].
Умова паралельності двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2 = b1 :b2 с1 2
Умова накладання двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2 = b1 :b2 = с1 2
Умова перпендикулярності двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0
а2x + b2y + c2 = 0
а1a2 + b1b2 = 0.
Умова непаралельності або перетину двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2  b1 :b2 .
Точка М(хм; ум) перетину двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
хм = (b2c1 - c2b1):(а1b2 b1а2);
ум = (а1c2 - a2c1):(а1b2 b1а2).




Модуль 5
Рівняння висоти, медіани трикутника

Множина прямих задана формулою:
аx + by + c = 0
а) якщо а і b – фіксовані числа(не змінюються), не рівні нулю, а число с – довільні числа(змінюються),  тоді маємо пучок паралельних прямих, який визначає направляючий вектор з координатами (-b, а). Вектор з координатами (а; b) – це перпендикулярний вектор до прямої, що задана рівнянням аx + by + c = 0;
б) якщо а і с – фіксовані числа і а ≠ 0(не змінюються),
b - довільні числа (змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (-с/а; 0), за виключенням осі Ox, тобто, прямої у = 0;
в) Якщо b і с фіксовані числа і b ≠ 0(не змінюються),  а – довільні числа(змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (0; -с/ b), за виключенням осі Оy, тобто,  прямої х = 0.
г) якщо паралельні прямі задані рівняннями: аx + by + с1= 0,  аx + by + с2= 0, то формула відстані  h між паралельними прямими: h = |с1с2|:(а2 + b 2)0,5.
д) якщо трикутник в декартовій системі xOy
заданий рівняннями прямих
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x + B2y + C2 = 0,
l3: A3x + B3y + C3 = 0,
тоді рівняння висоти, що опущена на l3:
(A1x + B1y + C1)(A2A3 + B2B3) = (A2x + B2y + C2)(A1A2 + B1B2)
рівняння медіани, що проходить через точку перетину l1 та l2:
(A1x + B1y + C1)(A2B3 A3B2) = (A2x + B2y + C2)(A3B1 + A1B3).
Ці прямі утворюють трикутник тоді і тільки тоді,коли не рівний нулю визначник V третього порядку, що утворений з трьох векторів: (A1; B1; C1), (A2; B2; C2), (A3; B3; C3), тобто вираз V = A1B2C3+ C1A2B3+ B1C2A3- A3B2C1 - A1B3C2- A2B1C3 ≠ 0
 Площа трикутника S, що задана трьома рівняннями прямих:
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x + B2y + C2 = 0,
l3: A3x + B3y + C3 = 0,
обчислюється за формулою:
S = 0,5(V)2 :(А1B2- А2B1) (А2B3- А3B2)(А3B1- А1B3), де

V = A1B2C3+ C1A2B3+ B1C2A3- A3B2C1 - A1B3C2- A2B1C3.

Немає коментарів:

Дописати коментар