Властивості прямої, через аналітичні формати прямої на площині

Модуль 1

РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ

Пряма лінія в прямокутній системі координат може бути записана у  різних формах одного і того ж рівняння першого степеня. Переглянемо усі найпопулярніші форми запису рівняння прямої.

Рівняння прямої

в прямокутній системі координат

з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b,

де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох,  при цьому k, x,  b – довільні числа.

В математиці, зокрема в теорії функцій це рівняння задає так звану  лінійну функцію, графіком якої є пряма лінія. В арифметиці чисел цим рівнянням задають послідовність чисел, яку називають арифметична прогресія, зрозуміло, що k, b – довільні числа,  х – натуральні числа(номер члена прогресії).  У фізиці такими рівняннями задають  та описують рівномірні процеси, наприклад, рівномірний рух  транспорту по прямій. Ще в теорії цілих чисел цим рівнянням задають послідовність чисел, які при ділення на ціле k мають остачу  b, зрозуміло, що k – дільник числа у, b – остача,  х – неповна частка.

Приклади: 1) якщо k = 0, b = 0, то

у = 0

 - це рівняння вісі абсцис Ох;

2) якщо k = 0, b ≠ 0, то

у = b

 - це рівняння прямих, що паралельні до осі  абсцис і проходять через точку (0;  b);

3) якщо k = 1, b = 0, то

у = х

- це рівняння  прямої, що є бісектрисою першої  та третьої координатних чвертей);

4) якщо k = -1, b = 0, то

у = - х

 - це рівняння  прямої, що є бісектрисою другої  та чевертої координатних чвертей);

5) якщо k = 2, b = 0,  х = n – цілі числа, то

у = 2n

- це рівняння  парних чисел;

6) якщо k = 2, b = -1,  х = n – цілі числа, то

у = 2n-1

- це рівняння  непарних чисел;

7) якщо k = 6, b = -1,  х = n – цілі числа, то

у = 6n-1

 - це рівняння  цілих чисел, які при діленні на 6 дають остачу 5;

8) якщо k = 6, b = +1,  х = n – цілі числа, то

у = 6n+1

- це рівняння  цілих(непарних) чисел, які при діленні на 6 дають остачу 1;

9) якщо k = 15, b = +1,  х = n – цілі числа, то

у = 15n+1

 - це рівняння  цілих(парних і непарних) чисел, які при діленні на 3 і на 5 дають остачу 1;

Модуль 2

ВЛАСТИВОСТІ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

З КУТОВИМ КОЕФІЦІЄНТОМ.

Рівняння прямої

в прямокутній системі координат

з кутовим коефіцієнтом

у = kx + b,

де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох,  при цьому k, x,  b – довільні числа.

Властивості прямої:

1.  Точка (0;  b) – це точка перетину прямої з віссю Оу ординат;  

2.  Точка (-b:k; 0) – це точка перетину прямої з віссю Оx абсцис;  

3.  Якщо 0 < k  <1, то кут j - гострий кут від 0 градусів до 45 градусів ,

4.  Якщо k=1, тоді кут  j = 45 градусів;

5.   якщо 1< k< + ∞, то кут j - гострий кут від 45 градусів до 90 градусів;

6.  Якщо -1 < k < 0, то кут j - тупий кут від 90 градусів до 135 градусів ,

7.  Якщо k= -1, тоді кут  j = 135 градусів;

8.   якщо  - ∞ < k < -1, то кут j - тупий кут від 135 градусів до 180 градусів;

9.   Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді  m₁ || m₂ (дві паралельні прямі), якщо

 k₁ = k₂,  b₁≠ b₂.

10.                  Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді  m₁ ^ m₂ (дві перпендикулярні  прямі),  якщо

 k₁k₂,= -1,  b₁ і b₂ – довільні числа.

11.                  Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді тангенс кута b між двома прямими  m₁ і m₂ (дві непаралельні прямі) обчислюється за формулою:

tgj =|(k₁ - k₂):(1+ k₁ k₂)|.

12.                  Умова перпендикулярності двох прямих

1:k₁ = - k₂.

13.                  Умова перетину двох прямих

k₁ ≠  k₂.

14.                  Умова накладання двох прямих

k₁ =  k₂.  b₁ = b₂.

15.                  Умова перетину двох прямих

k₁ =  k₂.  b₁ = b₂.

16.                  Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді кутовий коефіцієнт рівняння бісектриси між двома прямими  m₁ і m₂ (дві непаралельні прямі) обчислюється за формулою:

k_бісек = tgj = [k₁(1+ k₂²)^0,5 + k₂(1+ k₁²)^0,5]:[(1+ k₁²)^0,5 + (1+ k₂²)^0,5]

17.                  Якщо маємо два рівняння

m₁: у = k₁x + b₁,

m₂: у = k₂x + b₂,

тоді кутовий коефіцієнт рівняння ординальної прямої, (це пряма, що ділить навпіл усі відрізки між двома прямими  m₁ і m_2, при умові, що ці відрізки паралельні осі ординат ) обчислюється за формулою:

k_ордин = tgj = 0,5(k₁+ k₂).

Модуль 3

ФОРМИ ЗАПИСУ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

Рівняння прямої

що проходить через дану точку М(х_м; у_м)

у – у_м = k(х - х_м),

де k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох. 

Рівняння прямої

що проходить через дві дані точки

М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

(у – у_M):(у_N – у_M)  = (х – х_M):(х_N – х_M),

у = (х - х_м)(у_N – у_м):(х_N - х_м) + у_м,

Умова належності трьох точок: 

А(х_а; у_а), В(х_b; у_b), C(х_c; у_c)

одній прямій

х_ау_b + х_bу_c + х_cу_a - х_cу_b – х_aу_c – х_bу_a = 0.

Відстань між двома точками М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

обчислюється за формулою:

МN =[(х_N - х_M)²+(у_N - у_M)²]^0,5.

Рівняння прямої у відрізках(канонічна форма)

x:а + y:b = 1,

де а і b довжини відрізків , як відтинає пряма на осях координат, починаючи від точки (0; 0).

Нормальне рівняння прямої

xсоsа + ysinа – p = 0,

де р довжина перпендикуляра від точки (0; 0) до даної прямої , а – це кут між  перпендикуляром р і додатним  напрямом осі Ох. 

Загальне рівняння прямої

аx + by + c = 0

де а²+ b²≠ 0

n(a; b)  - нормальний вектор(перпендикулярний до прямої).

Модуль 4

Властивості загального рівняння прямої

Деякі випадки рівняння прямої:

1)              якщо  с = 0, то аx + by = 0 - це рівняння прямої, що проходить через початок координат.

2)             якщо  b = 0(a ≠ 0), то x = -c:a - це рівняння прямої, що паралельна осі ординат Оу і проходить через точку (-c:a; 0) .

3)             якщо b = 0, a ≠ 0, с = 0, то x = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю ординат Oy.

4)             якщо  а = 0, b ≠ 0, с = 0, то y = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю абсцис Ох.

5)             якщо  b ≠ 0 (a = 0), то x = -c:b - це рівняння прямої, що паралельна осі абсцис Ох і проходить через точку (0;-c:b) .

Відстань від точки М(х_м; у_м) до прямої

xсоsа + ysinа – p = 0

d = |х_м соsа + у_м sinа – p|

Відстань від точки М(х_м; у_м) до прямої

аx + by + c = 0

d = |aх_м + bу_м + c|:(а²+ b²)^0,5.

Кут  між двома прямими

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

обчислюється за формулами:

tgj =|(а₂b₁ + b₂а₁):(а₁a₂ + b₁b₂)|;

cosj =|а₁a₂ + b₁b₂|:[(а₁² + b₁²)^0,5(а₂² + b₂²)^0,5].

Умова паралельності двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁ :a₂ = b₁ :b₂ ≠ с₁ :с₂

Умова накладання двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁ :a₂ = b₁ :b₂ = с₁ :с₂

Умова перпендикулярності двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0

а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁a₂ + b₁b₂ = 0.

Умова непаралельності або перетину двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁ :a₂ ≠  b₁ :b₂ .

Точка М(х_м; у_м) перетину двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

х_м = (b₂c₁ - c₂b₁):(а₁b₂ – b₁а₂);

у_м = (а₁c₂ - a₂c₁):(а₁b₂ – b₁а₂).

Модуль 5

Рівняння висоти, медіани трикутника

Множина прямих задана формулою:

аx + by + c = 0

а) якщо а і b – фіксовані числа(не змінюються), не рівні нулю, а число с – довільні числа(змінюються),  тоді маємо пучок паралельних прямих, який визначає направляючий вектор з координатами (-b, а). Вектор з координатами (а; b) – це перпендикулярний вектор до прямої, що задана рівнянням аx + by + c = 0;

б) якщо а і с – фіксовані числа і а ≠ 0(не змінюються),

b - довільні числа (змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (-с/а; 0), за виключенням осі Ox, тобто, прямої у = 0;

в) Якщо b і с фіксовані числа і b ≠ 0(не змінюються),  а – довільні числа(змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (0; -с/ b), за виключенням осі Оy, тобто,  прямої х = 0.

г) якщо паралельні прямі задані рівняннями: аx + by + с₁= 0,  аx + by + с₂= 0, то формула відстані  h між паралельними прямими: h = |с₁ – с₂|:(а² + b ²)^0,5.

д) якщо трикутник в декартовій системі xOy

заданий рівняннями прямих

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

тоді рівняння висоти, що опущена на l₃:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂A₃ + B₂B₃) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₁A₂ + B₁B₂)

рівняння медіани, що проходить через точку перетину l₁ та l₂:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂B₃ – A₃B₂) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₃B₁ + A₁B₃).

Ці прямі утворюють трикутник тоді і тільки тоді,коли не рівний нулю визначник V третього порядку, що утворений з трьох векторів: (A₁; B₁; C₁), (A₂; B₂; C₂), (A₃; B₃; C₃), тобто вираз V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃ ≠ 0

 Площа трикутника S, що задана трьома рівняннями прямих:

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

обчислюється за формулою:

S = 0,5(V)² :(А₁B₂- А₂B₁) (А₂B₃- А₃B₂)(А₃B₁- А₁B₃), де

V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃.