пʼятниця, 2 січня 2015 р.

Тригонометрія в прямокутному трикутнику

Тригонометрія в прямокутному трикутнику

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, так як всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.

  • Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
  • Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
  • Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
  • Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.
Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.
\sin A = \frac {a} {c}\,, звідси a = c \sin A, c = \frac {a} {\sin A}\,.
\cos A = \frac {b} {c}\,, звідси b = c \cos A, c = \frac {b} {\cos A}\,.
\mbox{tg}~ A = \frac {a} {b}\,, звідси a = b \mbox{tg}~ A, b = \frac {a} {\mbox{tg}~ A}\,.
\mbox{ctg}~ A = \frac {b} {a}\,, звідси b = a \mbox{ctg}~ A, a = \frac {b} {\mbox{ctg}~ A}\,.
Звідси можна зробити висновок, що:
  • Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.
  • Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.
  • Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.

Завдання для самостійного опрацювання

Варіант  1.
1. У прямокутного DАВС(<С = 90о<В= 60о) виразити через відношення сторін такі тригонометричні  величини: 
sin<В =?,  sin <A=?,  cos <В=? ,  cos<A=?,  tg<В=? ,  tg<A=? ,  ctg<В=? , ctg<A=?
2. Використовуючи трійку сторін (а; b; с) прямокутного DАВС(<С = 90о) знайти  числові значення тригонометричних виразів:   sin<В =?,  sin<A=?,  cos <В=? ,  cos<A=?,  tg<В=? ,  tg<A=? ,  ctg<В=? , ctg<A=?   якщо:  1)( 9; 40; 41);  2) (189; 340; 380);  3) (21; 20; 29);  4) (7; 24; 25) ;  5) (45; 28; 53);  6) (21; 220; 221);  7) (13; 84; 85);  8) (65; 72; 97);  9)( 69; 260; 269); 10) (165; 52; 173);  11) (57; 176; 185);  12) (88; 105; 137); 13) (77; 36; 85);   14) (45; 28; 53);   15) (33; 56; 65);   16) (11, 60, 61).  
3. Використовуючи трійку сторін (а; b; с) прямокутного DАВС(<С = 90о) знайти числові значення тригонометричних виразів:   sin<В =?,  sin <A=?,  cos <В=? ,  cos<A=?,  tg<В=? ,  tg<A=? ,  ctg<В=? , ctgÐ<A=?   якщо є тільки  дві відомі сторони: 1)( 15; 8; с);  2) (35; 12; с);  3) (а; 12; 13);  4) (а; 24; 25);  5) (45; b; 53);  6) (33; b; 65);  7) (а; 84; 85);  8) (63; 16; с);  9)(а; 112; 113); 10) (165; b; 173);  11) (а; 260; 269);  12) (312; b; 313).   
4. Виписати тільки правильні твердження для прямокутного DАВС(<С = 90о,  СН -висота):  1)sin <В = СА/AB; 2) sin <A=CB/AB;  3)  cos <В= CB/AB;  4) cos<A = СА/AB;   5) tg<В =CA/CB;  6) tg<A  = CB/AC;  7)ctg<В = CB/AC;   8)сtg<A = CA/CB;    9)sin <В = СН/ВС;  10) sin <A=CН/AС;  11) cos <В = НB/СB;  12)cos<A = НА/AС;   13) tg<В =CН/НB;  14) tg<A  = CН/AН;  15)ctg<В = НB/НC;   ,16)ctg<A = НA/CН.
5. Знайти катет АС прямокутного DАВС(<С = 90о<В= 60о) з гіпотенузою, що рівна:  1)8м;  2) 12 см;  3) 4 км;   4) 24 см;   5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) b см.   
6. Знайти катет ВС прямокутного DАВС(<С = 90о<В= 30о) з гіпотенузою, що рівна:  1)8м;   2) 12 см;  3)1 км;   4) 24 см;     5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) n см.   
7.  Знайти гіпотенузу АВ прямокутного DАВС(<С = 90о<В= 45о) з катетом, що рівний:  1)8м;   2) 12 см;  3)1 км;   4) 24 см;     5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) k см.   
8. Знайти катет ВС прямокутного DАВС(<С = 90о<В= 60о) з катетом АС, що рівний:  1)8м;   2) 12 см;  3)1 км;   4) 24 см;     5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) b см.   
Варіант  2.
1. У прямокутного DАВС(<С = 90о) з катетом СВ= 8 см і  провели найменшу висоту СН = 4 см.  Знайти градусну міру усіх гострих  кутів трикутника СВН . Не  забудьте використати таблиці тригонометричних величин(таблиці Брадіса).
2. Знайти значення виразів: sin45о =?,  sin60о=?, cos30о=?, cos60о=?, tg30о =? , tg60о =?, ctg60о =?, ctg30о =?, ctg45о=?
3. Знайти градусні міри гострих  кутів, використовуючи тригонометричні таблиці Брадіса, і знаючи сторони (а; b; с)  прямокутного DАВС(<С = 90о), якщо:  1)( 9; 40; 41);  2) (189; 340; 380);  3) (21; 20; 29); 4) (7; 24; 25) ;  5) (45; 28; 53);  6) (21; 220; 221);  7) (13; 84; 85);  8) (65; 72; 97);  9)( 69; 260; 269); 10) (165; 52; 173);  11) (57; 176; 185);  12) (88; 105; 137); 13) (77; 36; 85);   14) (45; 28; 53);   15) (33; 56; 65);   16) (11, 60, 61).  
4.  Знайти градусні міри гострих  кутів, використовуючи тригонометричні таблиці Брадіса, і сторони (а; b; с)  прямокутного DАВС(<С = 90о),  якщо є дві відомі сторони: 1)( 15; 8; с);  2) (35; 12; с);  3) (а; 12; 13);  4) (а; 24; 25); 5) (45; b; 53);  6) (33; b; 65);  7) (а; 84; 85);  8) (63; 16; с);  9)(а; 112; 113); 10) (165; b; 173);  11) (а; 260; 269).
5. Виписати тільки правильні твердження для прямокутного DАВС(<С = 90о, СН -висота):  1)АН2 + ВС2 = ВА2
    2) НВ2 + НС2 = СА2;  3) НВ2 - ВС2 = НА2;   4) НВ2 - НС2 = СВ2;  5) НВ2 - АС2 = АВ2;   6)СН2 = ВННА;   7) СВ2 = ВНВА;    8)СА2 = ВАНА;   9) СН2 = ВАСА;   10) СВ2 - НС2 = НВ2;   11) СА2 - НС2 = НА2;  12) СН2 + НВ2 = СВ2;  13) СН2 + НА2 = СА2.    
6. Знайти кут при вершині рівнобедреного трикутника зі  сторонами:  :  1)( 18; 41; 41);  2) (378; 380; 380);  3) (42; 29; 29); 4) (14; 25; 25) ;  5) (90; 53; 53);  6) (42; 221; 221);  7) (26; 85; 85);  8) (130; 97; 97);  9)( 138; 269; 269); 10) (230; 173; 173);  11) (114; 185; 185);  12) (176; 137; 137); 13) (154; 85; 85);   14) (10; 13; 13);   15) (66; 65; 65);   16) (22, 61, 61).
7. Знайти кути при основі  рівнобедреного трикутника з  відомою основою та відомою бічною стороною:  1)8м і 5 см;  2) 10 см і 25 см;  3) 10см і 13см;   4) 66см  і 65см;    5)22см і 61см; 6)42см і 29см; 7) 14м і 25м; 8) 90см і 53см. 
8. Катети прямокутного DАВС(<С = 90о) відносяться, як: 1)8:15; 2)35:12;3)16:63;4)20:995)12:5; 6)55:48; 7) 11:60; 8) 9:40.  Медіана СМ рівна: 1) 34 см; 2)74м;3)130м; 4)202м5)26м; 6)146м; 7)122м; 8) 82м.  Знайти а та Ðb  DАВС.
8. У прямокутному DАВС(<С = 90о)  медіана і висота, проведені з вершини прямого кута, 25 і 24 см. Знайдіть гострі кути прямокутного  DАВС.
Варіант  3.
1. Виписати у відповідь  тільки правильні тригонометричні тотoжності:  1) sin2b  +  cos2b  = 1;   2)ctgb tgb =1; 
   3) ctgb  =(sin b) / ( cosb) ;   4) tga=(sin a) / (cosa);    5) ctg2b +1/ sin2b =1;    6) ctga∙ tgb =1;  7) tg2a+1/cos 2a=1;
    8)sin210o  + cos210o =1,    9) (cos4o)/( cos4o)=1,  10)tg2ac tg2a=1;    11)ctgatga=1;   12) sin2a+  cos2a  = 1.
2. Спростити  тригонометричні вирази:  1) (sing +cosg)2 / (1+2sing cosg)  ;  2) cosatga + (sin2a)/( tg2a);
  3) sin2b +cos2b - tg2ac tg2a;   4) sin4a -cos4a;   5) tga sina -  1/(cosa);   6) ctg2a+1/(sin2g)  - 1; 7) -1+tg2a+1/cos 2a ;
3. Знайти: 1) cos2(90o -10o ) + cos210?;  2) sin2(90o -40o ) + sin240?;  3)sin(90o -40o) /cos40o) = ?.
4. Чому дорівнює  sina, ctga, tga, якщо соsa = 0,6?   5. Чому дорівнює  соsa, ctga, tga, якщо sina = 0,8?
6.  У прямокутному трикутнику відомо: а)катет і гострий кут; б)гіпотенуза і  гострий кут. Знайти невідомі сторони.   





Тригонометрія в прямокутному трикутнику


Розглянемо прямокутний трикутник АВС, кут С ‒ прямий. Позначимо за α кут А. Косинусом гострого кута прямокутного три­кутника називається відношення довжин при­леглого катета та гіпотенузи: cos l  =АС/АВ. Синусом гострого кута прямокутного трикут­ника називається відношення довжин протилеж­ного катета та гіпотенузи:  sin  l = ВС/АВ. Тангенсом гострого кута прямокутного три­кутника називається відношення довжин про­тилежного та прилеглого катетів:  tg l=  ВС/АС. Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення довжин прилеглого та протилежного катетів: ctg lАВ/ВС.


Довідник з геометрії РІВНОСТРОННЬОГО ТА ПРЯМОКУТНОГО трикутника

Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.
Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерамиa та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За цією теоремою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
 AB^2=AC^2+BC^2
Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.
 AC^2=AB^2-BC^2
 BC^2=AB^2-AC^2
Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:
 S = \frac{1}{2} ab .

Деякі властивості прямокутних трикутників

  1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
  2. Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то катет протилежній цьому куту буде дорівнювати половині гіпотенузі.
  3. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
  4. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутника, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
  5. Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

У прямокутного трикутника є чотири ознаки рівності:
  • За двома катетами.
Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
  • За катетом і гострим кутом.
Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.
  • За гіпотенузою і катетом.
Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого трикутника, то такі трикутники рівні.
  • За гіпотенузою і гострим кутом.
Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Вписане й описане коло прямокутного трикутнику

Описане коло[ред. • ред. код]

Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Нехай O — центр описаного кола навколо прямокутного Trianglen.svg ABC:
AO=OC= \frac {1} {2}AC=R

Вписане коло[ред. • ред. код]

У прямокутний трикутник Trianglen.svg ABC з прямим кутом \angle \text{C} вписане коло, яке дотикається до катетів у точках K і N. Відрізки KC і NC дорівнюють радіусу кола.
Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c знаходиться за формулою:
r= \frac {a+b-c} {2}


В геометріїТеорема Фалеса (названа на честь Фалеса з Мілету) стверджує, що якщо A, B і C є точками на колі, де відрізок AC є діаметром кола, тоді кут ABC є прямим.
Теорема Фалеса є окремим випадком теореми про вписані кути. Вона згадується і доводиться як 33-я пропозиція, третьої книги Евкліда «Начала».

Доведення

Використаємо такі факти: сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам і що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.
Thales-proof.png
Нехай O є центром кола. Оскільки OA = OB = OC, OAB і OBC є рівнобедреними трикутниками, із рівності кутів при основі рівнобедреного трикутника, OBC = OCB і BAO = ABO. Нехай γ = BAO і δ = OBC.
Оскільки сума кутів прямокутного трикутника рівна двом прямим кутам, отримаємо
2γ + γ ′ = 180°
і
2δ + δ ′ = 180°
Також відомо що
γ ′ + δ ′ = 180°
Додавши перші два рівняння та віднявши третє, отримаємо
2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°
що, після скорочення γ ′ and δ ′, дає
γ + δ = 90°

Обернена теорема

Обернена теорема також вірна. Вона стверджує, що якщо для даного прямокутного трикутника побудувати коло, так, що його гіпотенуза буде діаметром кола, то коло буде описаним навколо трикутника.
Пряма та обернена теореми можуть бути сформульовані так:
Центр описаного навколо трикутника кола лежить на одній із його сторін тоді і тільки тоді, коли трикутник є прямокутним.

Узагальнення

Теорема Фалеса є спеціальним випадком наступної теореми: якщо дані три точки A, B і C на колі із центром O, кут AOC вдвічі більшим від ABC.

Історія

Фалес не був першовідкривачем теореми названої в його честь, оскільки давні єгиптяни та вавілоняни знали її на емпіричному рівні. Але Фалесу належить перше доведення цієї теореми.


Висота


Висота прямокутного трикутника
Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу.
\displaystyle f^2=de,
\displaystyle b^2=ce,
\displaystyle a^2=cd
де abcdef такі, як позначено на малюнку. Тоді висоту можна записати через сторони трикутника:
f=\frac{ab}{c} \  або через катети
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.

Розвязування рівностороннього трикутника 
a
(2h∙30,5):3
Р/3
2p/3
R∙30,5
2r∙30,5
2/3(3S∙30,5)0,5
h
(a∙30,5)/2
(P∙30,5)/6
(p∙30,5)/3
3r/2
3r
(S∙30,5)0,5
P
3a
2h∙30,5
2p
3R∙30,5
6r∙30,5
2(3S∙30,5)0,5
p
3a/2
h30,5
p/2
(r∙30,5)/2
3r∙30,5
(3S∙30,5)0,5
R
(a∙35)/3
2h/3
(P∙30,5)/9
(2p∙30,5)/9
2r
2/3 ∙(S∙30,5)0,5
r
(а∙30,5)/6
h/3
P∙30,5/18
(P∙3)0,5/18
R/2
((S∙30,5)0,5)/3
S
(a2∙30,5)/4
(h2∙30,5)/3
(P2∙30,5)/36
(р2∙30,5)/9
(3R2∙30,5)
3r2∙30,5
Розвязування прямокутного трикутника з кутами ÐС=90оÐА=30о  с == (а2+b2)0,5
a= 0,5c
b=30,5/2
b=30,5∙a
S=0,5∙30,5∙a2
S=30,5∙b2/6
S=30,5∙c2/8
S= r2+2Rr
Площа прямокутного трикутника(а і b катети)
S=0,5ab
S=0,5a2 tgβ
S=0,5a2ctgα
S=0,5b2tgα
S=0,5b2ctgβ
S=0,25c2sin2α
S=0,25c2sin2β
Знаходження сторін прямокутного трикутника(а і b катети):  с == (а2+b2)0,5
а = с∙sinα
а = с∙cosβ
а = b∙ctgβ
а = b∙tgα
b = с∙sinβ
b = с∙cosα
b = a∙tgβ = a∙ctgα
Рівнобедрений прямокутний  трикутник:  а= b ÐС=90оÐА=45оÐВ=45о; с== (а2+b2)0,5
b= a =20,5c;   h=  hb = a =b;    ma= mb=0,5∙50,5∙a; mc= hb= lc= 0,5∙c;   S = 0,5∙a2 = 0,25c2
Прямокутний  трикутник. Медіани, висоти, радіус вписаного кола.
mc= 0,5c;  r = p  c;  ma = 0,5(4b2+a2)0,5;   mb = 0,5(4a2+b2)0,5;   ma2+mb= 5mc2;
 r = ab/(a+b+c); a = (cac)0,5;  b = (cbc)0,5 hc = (acbc)0,5;   hc = ab/c;  hc = ab/(ac +bc); 
r = (a+b-c)/2;
1.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 300  бісектриса середнього кута ділить середню сторону у відношенні 1:2 починаючи від вершини прямого кута.
2.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30 найменша висота рівна половині більшого катета.
3.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 75 найменша висота рівна чверті гіпотенузи.
4.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 75 найменша висота рівна половині радіуса описаного кола.
5.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 15 найменша квадрат найменшої висоти рівний половині площі трикутника.
6.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 кожна сторона поділена точкою на дві частини  у відношенні 1:2, починаючи з вершини більшого кута. Ці три точки поділу сторін утворюють правильний трикутник, площа якого становить дві дев’ятих площі прямокутного трикутника. Ці три точки поділу сторін є точками дотику вписаного кола в даний прямокутний трикутник.
7.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 найменша висота ділить бісектрису середнього кута навпіл.
8.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 найменша медіана перпендикулярна до бісектриси середнього кута.
9.У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60 бісектриса середнього кута ділить навпіл найменшу медіану.
10.  У прямокутному трикутнику найменша медіана ділить навпіл площу цього трикутника.
11.  У прямокутному трикутнику сторони можуть виражатися натуральними числами за формулами:
                                                            а = m2 – n2;  b = 2mnc m2 + n2 .
m/n
2
4
6
8
10
12
1
3, 4, 5
15, 8,17
35,12,37
63,16,65
99,20,101
143,24,145
3
5,12,13.
7, 24.25
-------------
55.48.73
91.60,109
--------------
5
21.20.29
9.40.41
11, 60, 61
38, 80, 89
-------------
169,120,119
7
45.28.53
33.56.65
13.84.85
15.112.113
51.140.149
95.169.193
9
77.36.85
65.72.97
------------
17.144.145
19.180.181
-------------
11
44.117.125
88.105.137
85.132.157
57.176.185
21.220.221
23.264.265
13
52.165.173
104.153.135
133.156.175
105.208.233
69.260.269
25.312.313
15
60.221.229
120.209.241
-----------
161.240.289
-------------
--------------
17
68.285.293
136.273.305
204.253.325
225.273.353
189.340.380
145.408.433
19
76.357.365
152.345.377
228.325.397
297.304.425
261.380.461
217.456.505
21
84.437.445
168.425.457
------------
366.377.505
341.420.541
--------------
23
92.525.533
184.513.540
276.493.565
368.468.593
429.460.629
385.552.673
25
100.621.629
200.609.641
589.300.661
400.561.689
-------------
481.600.769
Тригонометрія на прямокутному трикутнику

Розглянемо прямокутний трикутник АВС, кут С ‒ прямий. Позначимо за α кут А. Косинусом гострого кута прямокутного три­кутника називається відношення довжин при­леглого катета та гіпотенузи: cos l  =АС/АВ. Синусом гострого кута прямокутного трикут­ника називається відношення довжин протилеж­ного катета та гіпотенузи:  sin  l = ВС/АВ. Тангенсом гострого кута прямокутного три­кутника називається відношення довжин про­тилежного та прилеглого катетів:  tg l=  ВС/АС. Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення довжин прилеглого та протилежного катетів: ctg lАВ/ВС.

Немає коментарів:

Дописати коментар