9 клас. Геометрія. Дистанційне навчання: Коло і трикутник. Радикальна вісь

Радикальна вісь двох пересічних кіл

Побудова радикальної осі двох кіл

Картинки по запросу властивості хорд що перетинаються

Радикальна вісь двох кіл - геометричне місце точок, ступеня яких відносно двох заданих окружностей рівні. Радикальна вісь двох кіл існує тоді і тільки тоді, коли окружності неконцентріческіе, і може бути визначена як для кіл, так і для точок (кіл нульового радіуса) і уявних кіл (уявного радіуса).

Властивості радикальної осі

Радикальна вісь є прямою. Оскільки ступінь точки щодо кола дорівнює x ² + y ² + A x + B y + C , Де коефіцієнти A, B і C визначаються через координати центру і радіус кола, то, прирівнявши ступеня точки відносно двох кіл, одержимо $x ^ 2 + y ^ 2 + A_1x + B_1y + C_1 = x ^ 2 + y ^ 2 + A_2x + B_2y + C_2 \ Leftrightarrow (A_1-A_2) x + (B_1-B_2) y + (C_1-C_2) = 0$ , А це рівняння прямої. Існує також доказ цього факту з використанням тільки геометричних методів.
Радикальна вісь перпендикулярна лінії центрів, що випливає з симетричності обох кіл щодо лінії центрів.
Якщо P - точка на радикальної осі, то довжини дотичних з точки P до обох колах рівні - це випливає з того, що ступінь точки дорівнює квадрату довжини відрізка дотичної. Зокрема, радикальна вісь ділить навпіл відрізки загальних дотичних.

Радикальна вісь двох пересічних кіл

Якщо кола перетинаються в двох точках, то їх радикальної віссю буде пряма, яка містить їх загальну хорду, якщо вони стосуються зовнішнім чином - то радикальної віссю буде загальна внутрішня дотична, якщо внутрішнім - то загальна дотична (єдина).

Побудова радикальної осі двох кіл

Якщо прямі, що містять хорди A B і C D першої та другої кола відповідно перетинаються на радикальної осі, то чотирикутник A B C D вписаний. Це нескладно довести: нехай P - Точка перетину. По властивості ступеня точки, вона дорівнює $PA \ cdot PB$ , А так як P лежить на радикальної осі, то вона дорівнює і $PC \ cdot PD$ . Так як $PA \ cdot PB = PC \ cdot PD$ , То точки A , B , C і D лежать на одній окружності. Вірно і зворотне: якщо дві окружності перетнути третього так, що A B - Загальна хорда першої та третьої, а C D - Загальна хорда другої і третьої, то прямі AB і CD перетнуться на радикальної осі перших двох кіл, причому в так званому радикальному центрі трьох кіл (див. нижче). На цьому властивості грунтується побудова радикальної осі циркулем і лінійкою: побудуємо коло, що перетинає дві дані по двох точках, а потім опустимо з їх радикального центру перпендикуляр на лінію центрів.

Радикальний центр трьох кіл

Радикальні осі трьох кіл з неколінеарних центрами перетинаються в одній точці, яка називається радикальним центром. Нехай Ω _1, Ω _2, Ω ₃ - Кола, а P - Точка перетину радикальної осі кіл Ω ₁ і Ω ₂ з радикальною віссю кіл Ω ₂ і Ω ₃ . Якщо $\ Mathfrak P (\ omega, A)$ - Ступінь точки A щодо об'єму ω , То за визначенням радикальної осі $\ Mathfrak P (\ Omega_1, P) = \ mathfrak P (\ Omega_2, P) = \ mathfrak P (\ Omega_3, P)$ , І крапка P лежить на радикальної осі кіл Ω ₁ і Ω ₃
Геометричне місце центрів кіл, ортогональних двом даними, є їх радикальна вісь з виключеною загальної хордою (якщо вона є).
Антігомологіческіе хорди двох кіл перетинаються на їх радикальної осі.
Нехай A B C D - Чотирикутник, прямі A B і C D перетинаються в точці E , B C і A D - В F . Тоді кола, побудовані на відрізках A C , B D і E F , Як на діаметрах, мають загальну радикальну вісь, на якій лежать точки перетину висот трикутників A B E , C D E , B C F і A D F (Пряма Обера - Штейнера).

Наслідки з властивостей радикальної осі

На прямій, що проходить через точки дотику двох вневпісанних кіл трикутника з його сторонами, ці вневпісанние окружності висікають рівні відрізки.
Діагоналі описаного близько окружності шестикутника, що з'єднують протилежні вершини, перетинаються в одній точці ( теорема Бріаншона для кола).
Радикальні осі та центри використовуються в рішеннях задач олімпіадної математики.