Симетрія відносно точки і прямої

Конспект уроку на тему "Симетрія відносно точки і прямої"

     Мета: сформувати поняття симетрії відносно точки та прямої, властивості симетрії; навчати учнів будувати точки та найпростіші фігури, симетричні відносно точки і прямої; ознайомити із застосуванням симетрії; розвивати творчі здібності учнів, інтерес до вивчення математики та процесу пізнання; привчати до індивідуальної форми роботи; розвивати увагу, фантазію й культуру мовлення; виховувати відповідальність, ініціативність, працелюбність, свідоме ставлення до отримання та застосування знань.

     Обладнання: кольорова крейда, виставка фігур із симетрією, таблиці та малюнки, які учні підготували для своїх виступів.

     Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

Запитання

1. Яке перетворення називається переміщенням?

2. Які властивості переміщення ви знаєте?

3. Які фігури називаються рівними?

4. Як обчислити площі заштрихованих фігур на рис. 1 і рис. 2, зробивши найменшу кількість вимірювань?

Рис. 1

Рис. 2

5. Які з веселих чоловічків однакові?

III. Формування теми та мети уроку

     Учитель. Сьогодні ви зробите презентацію матеріалів, які підготували до уроку, і поглибите та систематизуєте свої знання про один із видів перетворення фігур, що називається «симетрія». По суті, продовжите вивчати переміщення.

     Девіз нашого уроку: «Бути прекрасним—означає бути симетричним і пропорційним»(Платон).

IV. Засвоєння нових знань

     Учень 1. Термін «симетрія» походить із грецької мови. Означає «відповідність», «однаковість», «пропорційність у розміщенні».

     Дві точки X і X’ площини називаються симетричними відносно точки О, якщо О є серединою відрізкаXX’ (рис. 3).

Рис. 3

     Як побудувати точку А', симетричну до точки А відносно точки О (рис. 4)?

Рис. 4

     Учень 2. Як побудувати відрізок X’Y’, симетричний до відрізка XY відносно точки О (рис. 5)?

Рис. 5

     Як побудувати чотирикутник А'В'С'D', симетричний до чотирикутника АВСD відносно точки О (рис. 6)?

Рис. 6

     Учні виконують усі побудови в зошитах.

     Учень 3. Перетворення, при якому кожна точка X фігури F переходить у точку X’ фігури F’, симетричну відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О (рис. 7).

Рис. 7

     Фігури F і F’ називаються симетричними відносно точки О.

     Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то вона називається центрально-симетричною, а точка О — центром симетрії.

     Наступний четвертий учень разом з іншими учнями класу за допомогою рис. 8 виводить властивості симетрії відносно точки.

Рис. 8

     Учень 5. Крім симетрії відносно точки на площині, ще є симетрія відносно прямої.

     Дві точки X і X’ площини називаються симетричними відносно прямої l, якщо l є серединним перпендикуляром відрізка ХХ’ (рис. 9).

Рис. 9

     Як побудувати точку А', симетричну до точки А відносно прямої l (рис. 10)?

Рис. 10

     Учень 6. Як побудувати трикутник А'В'С’, симетричний до трикутника ABC відносно прямої l (рис. 11)?

Рис. 11

     Сьомий учень дає означення перетворення симетрії відносно прямої l (рис. 12).

Рис. 12

     Восьмий учень разом з іншими учнями класу за допомогою рис. 13 виводить властивості симетрії відносно прямої.

Рис. 13

     Учень 9. Нарисуємо кілька правильних многокутників у порядку збільшення кількості сторін і вершин (рис. 14). За рівностороннім трикутником йтиме квадрат, далі — правильний п'ятикутник, шестикутник, семикутник і т. д.

     У кінці цього ряду буде круг — «правильний многокутник» із нескінченною кількістю вершин.

Рис. 14

     Скільки осей симетрії проходить через центр трикутника, квадрата і т. д.? А через центр круга?

     Учень 10. Я підготував рисунки фігур, які мають центр або вісь симетрії.

     Природа — дивовижний творець і майстер. Усе живе в ній має властивість симетрії.

Сніжинка

Павутиння

     Якщо глянути згори на будь-яку комаху й подумки провести.посередині пряму, то ліві й праві половинки комах будуть однаковими і за розташуванням, і за розмірами, і за забарвленням. Адже ми жодного разу не бачили, щоб у жука або метелика чи в якоїсь іншої комахи лапи ліворуч були ближче до голови, ніж праворуч, а праве крило метелика чи сонечка було більшим за ліве. Такого в природі не буває, інакше б комахи чи птахи не змогли літати.

Метелик

Голова дрозофіли

     Симетрію, властиву живій природі, людина використала у винаходах,створивши літак, спорудивши унікальні будівлі чи орнаменти. Симетрія надає фігурі не тільки краси та досконалості, а й міцності.

Літак

Рудольфінум. Будинок художників у Празі

Український орнамент

     Та й сама людина з погляду геометрії є симетричною фігурою.

Вітрувіанська людина Леонарда да Вінчі

     Учень 11. А я прочитав, що серед кристалів теж багато симетричних. Кристал повареної солі має вигляд куба, кристал алмазу – октаедра.

Кристал повареної солі

Кристал алмазу

Кристал кварцу

Кристал гранату

     Кристалографи й фізики давно помітили, що наявність чи відсутність центру симетрії в кристалі впливає не тільки на його форму, а й на фізичні властивості.

     Учень 12. Пропоную вашій увазі графіки функцій, симетричні відносно початку координат або відносно координатних осей (рис. 15—17).

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

     Учень 13. А я вибрав усі літери алфавіту, що мають центр або вісь симетрії.

     (Учень показує букви (рис. 18), а інші учні проводять осі симетрії чи вказують на центр симетрії.)

Рис. 18

     Учень 14. Окрім симетрії відносно точки і прямої, є ще симетрія відносно площини — вона називається «дзеркальна симетрія». Площина називається площиною симетрії.

     Коли ми подивимось у дзеркало, то побачимо своє дзеркальне відображення. Симетричні фігури, предмети й тіла не однакові у вузькому сенсі слова (наприклад, ліва рукавичка не підходить для правої руки і навпаки), називаються «дзеркально рівні».

     Учень 15. А я бачу ознаки симетрії у вірші, який моя старша сестра присвятила своєму хлопцеві.

Симетрія кохання

Ми — дві половини щастя,

Два серця однаково світлі,

Нас розлучити не вдасться,

Допоки живемо на світі!

Коли у безмежжя космічне,

Як прийде пора, полинем,

Побачимо в дзеркалі вічнім

Нашого «Я» половини.

     Учень 16. Дано точку А (2; -3). Назвіть координати точки, симетричної точці А відносно початку координат; відносно осей координат (рис. 19).

Рис. 19

     Сімнадцятий учень пропонує запитання, що потребують проведення осей симетрії.

Запитання

1. Як, віднявши від дев'яти половину дев'яти, можна отримати чотири?

2. Як поділити 18 на дві рівні частини, щоб у кожній із них вийшло 10?

3. Чи може половина восьми дорівнювати нулю?

4. Чи може половина восьми дорівнювати трьом?

     Відповідь. Див. рис. 20.

Рис. 20

     Учень 18. Ґете у трагедії «Фауст» протиставив в образах Прекрасної Олени й страхітливої одноокої й однозубої старої Форкіади красу симетрії та потворність грубої асиметрії.

     Таке протиставлення ми знаходимо і в «Казці про царя Салтана» О. С. Пушкіна: з одного боку — велична Царівна-Лебідь із зіркою на чолі й місяцем під косою, а з іншого — потворні ткачиха та кухарка. Ми доходимо висновку, що всюди, де існує краса, є й симетрія.

     Учень 19. Симетрію можна знайти і в поезії. Повчальним та ілюстративним щодо симетрії може бути вірш Т. Шевченка «Ой три шляхи широкії...» (1847):

1. Ой три шляхи широкії

2. Докупи зійшлися,

3. На чужину з України

4. Брати розійшлися.

5. Покинули стару матір,

6. Той жінку покинув,

7. А той сестру. А найменший

8. Молоду дівчину.

9. Посадила стара мати

10. Три ясени в полі.

11. А невістка посадила

12. Високу тополю.

13. Три явори посадила

14. Сестра при долині.

15. А дівчина заручена

16. Червону калину.

17. Не прийнялись три ясени,

18. Тополя всихала,

19. Повсихали три явори,

20. Калина зав 'яла.

21. Не вертаються три брати,

22. Плаче стара мати.

23. Плаче жінка з діточками

24. В нетопленій хаті.

25. Сестра плаче, йде шукати.

26. Братів на чужину,

27. А дівчину заручену

28. Кладуть в домовину.

29. Не вертаються три брати,

30. По світу блукають.

31. А три шляхи широкії

32. Терном заростають.

     За змістом і формою текст вірша Шевченка чітко ділиться на дві частини по чотири строфи і по 16 рядків у кожній. Це — ознака чіткої симетрії.

     У першій частині три ясени і три явори розташовано симетрично: поставлено на початок рядків (10; 13), у другій — також симетрично винесено на кінець рядків (17; 19), а разом вони утворюють симетрію протилежних позицій. Схожу симетрію утворюють також тополя й калина в кінці рядків (12; 16) і на початку (18; 20):

«Ой три шляхи широкії

Докупи зійшлися» — так починається вірш.

«А три шляхи широкії

Терном заростають» — так завершується вірш.

     Симетрія початку й завершення — очевидна.

     Друга частина твору — сумний, важкий контраст до першої. Симетрія контрастів тут досконала: обом частинам властивий сполучник і, до того ж, обидві частини взаємно римуються (калину — домовину). Так, вірш Т.Г. Шевченка «Ой три шляхи широкії» характеризується досконалою симетрією. До цього можна додати, що симетрія часто зустрічається ще в музиці й малярстві. А, зрештою, де її немає?

     Учитель. Отже, ваші доповіді та презентації ніби створили чудове мозаїчне панно, що дає нам можливість побачити, зрозуміти й запам'ятати — подіваюся, на все життя, — що таке симетрія.

     Ви переконалися, що симетрія відіграє велику роль не лише в процесі наукового пізнання світу, а й у процесі його чуттєвого, емоційного сприйняття. «Симетрія, — казав видатний німецький математик Герман Вейль, — широка тема, що має велике значення для мистецтва й природи. Біля джерел симетрії перебуває математика: щоб показати, як працює математичне мислення, навряд чи можливо знайти щось краще за симетрію».

     Я так сказала би про симетрію: «Симетріє! Я гімн тобі співаю! Тебе повсюди в світі зустрічаю».

V. Закріплення вивченого матеріалу

     Змагання між групами дівчат і хлопців.

Завдання

1. Користуючись рисунком, визначте трикутник, симетричний трикутнику ABC відносно осі Ох, осі Оу,початку координат (рис. 21).

Рис. 21

2. Як побудувати точку, відносно якої симетричні кола на рис. 22? А пряму?

Рис. 22

3. Наведіть приклади слів, що не змінюються при симетрії відносно деякої прямої.

(Наприклад, ДІД; OTTO; ПІП; АДА; АННА; АЛЛА.)

4. Які числа не змінюються при симетрії відносно деякої прямої?

(Наприклад, 8; 808.)

VI. Підсумок уроку

     Ми завершуємо сьогоднішній урок, який дав нам можливість на основі попередньої роботи, зокрема, добору та презентації яскравих зразків симетрії, засвоїти поняття про цей надзвичайно цікавий вид перетворення фігур.

     Чий виступ вас вразив і здивував?

     Оцінювання учнів.

VII. Домашнє завдання