Правильний восьмикутник

Площа правильного восьмикутника може бути обчислена, як площа обрізаного квадрату.

Восьмику́тник  (октаго́н) — багатокутник з вісьмома кутами.

Правильний восьмикутник

Особливим випадком є правильний восьмикутник, який є опуклою фігурою з 8 сторонами рівної довжини і 8 однаковими кутами (внутрішній кут дорівнює 135 °). Він має наступні властивості (де a є довжина сторони правильного восьмикутника):

Площа поверхні: ${\displaystyle S=2a^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4{,}82843\cdot a^{2}}$

Периметр: ${\displaystyle L=8a\,}$

Довжина радіуса описаного кола правильного восьмикутника: ${\displaystyle R=a{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}}}$

Довжина радіуса вписаного кола правильного восьмикутника: ${\displaystyle r={\frac {a(1+{\sqrt {2}})}{2}}}$

Сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника дорівнює 1080°:

${\displaystyle \sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=6\cdot 180^{\circ }=1080^{\circ }}$

Кут правильного восьмикутника дорівнює:

${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{4}}\cdot 180^{\circ }=135^{\circ }}$

Правильний восьмикутник

Формули правильного восьмикутника:

1. Формула сторони правильного восьмикутника через радіус вписаного кола:

a = 2r · (√2 - 1)

2. Формула сторони правильного восьмикутника через радіус вписаного кола:

a = R√2 - √2

3. Формула радіусу кола вписаного в правильний восьмикутник через довжину сторони:

r =	a(√2 + 1)
	2

4. Формула радіуса кола описаного навколо правильного восьмикутника через довжину сторони:

R =	a√4 + 2√2
	2

5. Формула площі правильного восьмикутника через довжину сторони:

S = a² 2(√2 + 1)

6. Формула площі правильного восьмикутника через радіус вписаного кола:

S = r² 8(√2 - 1)

Основні властивості правильного многокутника

1. Всі сторони рівні:
a₁ = a₂ = a₃ = ... = a_n-1 = a_n

2. Всі кути рівні:
α₁ = α₂ = α₃ = ... = α_n-1 = α_n

3. Центр вписаного кола O_в співпадає з центром описаного кола O_о, і вони утворюють центр многокутника O

4. Сума всіх кутів n-кутника дорівнює:

180° · (n - 2)

5. Сума всіх зовнішніх кутів n-кутника кутника 360°:

β₁ + β₂ + β₃ + ... + β_n-1 + β_n = 360°

6. Кількість діагоналей (D_n) n-кутника дорівнює половині добутку кількості вершин на кількість діагоналей, що виходять з кожної вершини:

Dn =	n · (n - 3)
	2

7. В будь який многокутник можна вписати коло та описати круг при цьому площа кільця, утвореного цими колами, залежить тільки від довжини сторони многокутника:

S =	π	a2
	4

8. Всі бісектриси кутів між сторонами рівні і проходять через центр правильного многокутника O

Правильний n-кутник - формули

Формули довжини сторони правильного n-кутника

1. Формула сторони правильного n-кутника через радіус вписаного кола:

a = 2r · tg	180°
	n

a = 2r · tg	π
	n

2. Формула сторони правильного n-кутника через радіус описаного кола:

a = 2 R · sin	180°
	n

a = 2 R · sin	π
	n

Формула радіуса вписаного кола правильного n-кутника

Формула радіуса вписаного в правильний n-кутник кола через довжину сторони:

r = a : (2tg	180°	)
	n

r = a : (2tg	π	)
	n

Формула радіуса описаного кола правильного n-кутника

Формула радіуса описаного навколо правильного n-кутника кола через довжину сторони:

R = a : (2sin	180°	)
	n

R = a : (2sin	π	)
	n

Формули площі правильного n-кутника

1. Формула площі правильного n-кутника через довжину сторони:

S =	na2	· ctg	180°
	4		n

2. Формула площі правильного n-кутника через радіус вписаного кола:

S =	nr2 · tg	180°
		n

3. Формула площі правильного n-кутника через радіус описаного кола:

S =	nR2	· sin	360°
	2		n

Формула периметру правильного многокутника:

Формула периметру правильного n-кутника:

P = na

Формула визначення кута між сторонами правильного многокутника:

Формула кута між сторонами правильного n-кутника:

αn =	n - 2	· 180°
	n