Банк властивостей трапецій

0.    Бісектриса будь-якого внутрішнього кута  трапеції відрізує від неї рівнобедрений трикутник.

1.    Два внутрішні трикутники у трапеції, що обмежені частинами діагоналей трапеції та двома бічними сторонами трапеції мають рівні площі і хоча б один рівний кут.

2.    Висота трапеції, що проведена  через точку перетину діагоналей трапеції, ділиться у відношенні, яке дорівнює відношенню основ трапеції.

3.    Діагональ трапеції утворює з основами  рівні  кути.

4.    Два внутрішні  трикутники, що обмежені частинами діагоналей трапеції та двома основами трапеції мають рівні  кути(вони  подібні, з коефіцієнтом подібності, що дорівнює відношенню довжин основ).

5.     Середня лінія трапеції, що проведена між бічними лініями паралельна основам і дорівнює  півсумі основ та не проходить через точку перетину діагоналей трапеції.

6.    Відрізок, кінці якого лежать на двох основах трапеції, ділиться навпіл середньою лінією, що проведена між бічними сторонами трапеції.

7.    Відрізок, кінці якого це  середини основ трапеції,  проходить і через точку перетину діагоналей трапеції.

8.    Якщо відрізок паралельний основам трапеції з довжинами  a, b,  і ділить бічну сторона у відношенні  m:n(рахуючи з верхньої основи),  тоді довжина цього відрізка дорівнює (an+bm)/(n+m).

9.    Якщо прямокутна трапеція має меншу діагональ, що перпендикулярна до більшої бічної сторони, тоді меша діагональ трапеції розрізає її на два подібних трикутники, з коефіцієнтом, що дорівнює відношенню бічних сторін прямокутної трапеції.

10.        В трапецію можна вписати коло, якщо дві суми довжин протилежних сторін  трапеції рівні між собою. Центр цього кола лежить в точці перетину бісектрис чотирьох внутрішніх кутів трапеції. Чотири точки дотику трапеції і вписаного кола утворюють чотирикутник  з двома протилежними прямими кутами.

11.             Навколо будь-якої рівнобічної трапеції можна описати коло.  Центр цього кола лежить в точці перетину серединних перпендикулярів до усіх сторін трапеції.

12.             Не завжди в рівнобічну, в прямокутну  трапецію можна вписати коло.

13.             Навколо прямокутної трапеції не можна  описати коло.

14.             Бічні сторони рівнобічної трапеції утворюють з основами рівні кути. Рівнобічна трапеція має рівні діагоналі.  Якщо рівнобічна трапеція має перпендикулярні діагоналі,  то висота трапеції дорівнює середній ліній трапеції( дві середні лінії трапеції рівні між собою).

15.             Будь-яку трапецію можна відновити за довжинами чотирьох сторін..

16.                      Площа трапеції дорівнює добутку середньої  лінії на висоту трапеції.

17.                      Прямокутна трапеція з гострим кутом, що дорівнює третині розгорнутого кута, та рівними між собою більшою бічною стороною та більшою основою трапеції має площу, яка дорівнює 0,75а²(3)^0,5 кв. од. , де а – більша бічна сторона. У такої прямокутної трапеції дві основи відносяться, як 1:2. У таку прямокутну трапецію не можна вписати коло.

18.                      Прямокутна трапеція має площу, що дорівнює добутку середньої лінії на меншу бічну сторону трапеції.

19.                      Якщо в прямокутну трапецію можна вписати коло, то радіус вписаного кола дорівнює середньому геометричному двох відрізків, на які розбиває точка дотику більшу бічну сторону.

20.                      Кути при бічній стороні трапеції дорівнюють 180^о.

21.                      Бісектриса гострого кута трапеції відрізає рівнобедрений трикутник.

22.Ознаки рівнобічної трапеції

Ознака 1. Якщо у трапеції кути при основі рівні, то трапеція рівнобічна.

Ознака 2. Якщо у трапеції діагоналі рівні, то трапеція рівнобічна.

Ознака 3. Якщо у трапеції діагоналі утворюють з основами рівні кути, то трапеція рівнобічна.

23.Якщо середини чотирьох сторін рівнобічної трапеції послідовно з’єднати відрізками, то одержимо ромб. Кути цього ромба дорівнюють кутам між діагоналями трапеції.

24.Якщо середини чотирьох сторін рівнобічної трапеції з перпендикулярними діагоналями послідовно з’єднати відрізками, то одержимо квадрат. 

25.У рівнобічній трапеції з перпендикулярними діагоналями висота дорівнює середній лінії.

26. Якщо менша та більша основи трапеції рівні відповідно a та b, тоді наступний перелік відрізків, що паралельні основам трапеції  і мають таку довжину, що записані у порядку зростання:

2ab(a + b)^-1 – проходить через точку перетину діагоналей трапеції (це середнє гармонійне основ).

 (ab)^0,5 – ділить трапецію на дві подібні трапеції  (це середнє геометричне основ).

0,5(a + b) – ділить будь-яку бічну сторону у відношенні 1:1 (це середнє арифметичне основ).

0,5(a²+ b²)^0,5 – ділить дану трапецію на дві рівновеликі трапеції (це середнє квадратичне основ).

27.     Порівняльна шкала відрізків, що паралельні основам трапеції:

  а < 2ab(a + b)^-1 < (ab)^0,5< 0,5(a + b) < 0,5(a²+ b²)^0,5 < b

Якщо менша та більша основи трапеції рівні відповідно a та b, тоді відрізок, що паралельний основам трапеції  і має довжину (an+ bm)(n + m)^-1 ділить бічні сторони у відношенні n:m.

28.Коло можна описати навколо довільної рівнобічної трапеції і не можна описати навколо довільної прямокутної та різнобічної трапецій.

29.Центр кола, що вписаний в трапецію лежить в точці перетину бісектрис внутрішніх кутів трапеції.

30. Із центру вписаного в трапецію кола будь-яку бічну сторону видно під прямим кутом, а радіус вписаного кола дорівнює

(nm)^0,5, де точка дотику кола ділить бічну сторону на відрізки n од.довж та m од.довж.

31.Описана   трапеція може бути прямокутною, рівнобічною, різнобічною, і у неї сума основ дорівнює сумі бічних сторін.

32.Середня лінія описаної трапеції дорівнює півсумі бічних сторін.

33. Якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то вона не являється описаною.

34. Діагоналі трапеції розрізають трапецію на чотири трикутники, серед яких два трикутники є подібними (вони прилягають до основ трапеції) і два трикутники є рівновеликими, (вони прилягають до бічних сторін трапеції), площа рівновеликих трикутників дорівнює середньому геометричному площ двох подібних трикутників, прилягають до основ трапеції S=(S₁S₂)^0,5.