Многокутники
Ламаною 
...
називається фігура, яка складається з точок 
, 
, 
,..., 
і відрізків, що їх послідовно сполучають. Точки 
, 
, 
, ..., 
називаються вершинами ламаної, а відрізки 
; 
; ...; 
— ланками ламаної.
Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. Довжиною ламаноїназивається сума довжин її ланок.
На рисунку 1 зображена проста ламана, на рисунку 2 — ламана із самоперетином.
Рис. 1. Проста ламана
Рис. 2. Ламана із самоперетином
Теорема 1. Довжина ламаної не менша за довжину відрізка, що сполучає її кінці.
Ламана називається замкненою, якщо її кінці збігаються. Проста замкнена ламана називається многокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій.
Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, ланки ламаної — сторонами.
Відрізки, що сполучають несусідні вершини многокутника, називаються діагоналями.
Многокутник, що має n вершин, називається n-кутником. n-кутник має
діагоналей.
Многокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.
На рисунку нижче зліва зображений неопуклий многокутник, на рисунку справа — опуклий.
Кутом опуклого многокутника при даній вершині називається кут, утворений сторонами многокутника, що сходяться в цій вершині.
Теорема 2. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює
.
Зовнішнім кутом опуклого многокутника при даній вершині називається кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій вершині.
Теорема 3. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює
(див. рисунок).
Теорема 2. Правильні опуклі n-кутники подібні. Зокрема, якщо у них сторони рівні, то такіn-кутники рівні.
Правильний трикутник (рівносторонній)На рисунку:
;
;
; 
;
;
: 
;
;
; 
;
; 
;
; 
; 
;
.
Правильний чотирикутник (квадрат)
На рисунку:
;
;
; 
;
; 
; 
;
— рівнобедрені прямокутні трикутники.
Правильний шестикутник
На рисунку:
;
; сторона а;
; 
;
; 
;
— рівноcторонні трикутники;
ABCD — рівнобічна трапеція з кутами
і 
;
, 
;
— рівнобедрений;
; 
;
; 
.
Діагональ
.
Зверніть увагу: якщо з’єднати послідовно середини сторін правильного n-кутника, отримаємо правильний n-кутник (див. рисунки).
Якщо через вершини правильного n-кутника провести дотичні до описаного навколо нього кола, отримаємо правильний n-кутник.
Якщо з’єднати через одну вершини правильного 2n-кутника, отримаємо правильний n-кутник.
Це число позначається
.
, де l — довжина кола, R — радіус.
Отже,
або 
;
— число ірраціональне, 
.
Довжина дуги кола, яка відповідає центральному куту
: 
.
Радіанна міра кута описана в розділі «Алгебра. 10 клас» («Тригонометрія»).
... називається фігура, яка складається з точок , , ,..., і відрізків, що їх послідовно сполучають. Точки , , , ..., називаються вершинами ламаної, а відрізки ; ; ...; — ланками ламаної.Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. Довжиною ламаноїназивається сума довжин її ланок.
На рисунку 1 зображена проста ламана, на рисунку 2 — ламана із самоперетином.
Рис. 1. Проста ламана
Рис. 2. Ламана із самоперетином
Теорема 1. Довжина ламаної не менша за довжину відрізка, що сполучає її кінці.
Ламана називається замкненою, якщо її кінці збігаються. Проста замкнена ламана називається многокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій.
Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, ланки ламаної — сторонами.
Відрізки, що сполучають несусідні вершини многокутника, називаються діагоналями.
Многокутник, що має n вершин, називається n-кутником. n-кутник має
діагоналей.Многокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.
На рисунку нижче зліва зображений неопуклий многокутник, на рисунку справа — опуклий.
Кутом опуклого многокутника при даній вершині називається кут, утворений сторонами многокутника, що сходяться в цій вершині.
Теорема 2. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює
.Зовнішнім кутом опуклого многокутника при даній вершині називається кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій вершині.
Теорема 3. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює
(див. рисунок).Теорема 2. Правильні опуклі n-кутники подібні. Зокрема, якщо у них сторони рівні, то такіn-кутники рівні.
Правильний трикутник (рівносторонній)На рисунку:
;;; ; ;: ; ;; ;; ;; ; ;.Правильний чотирикутник (квадрат)
На рисунку:
;;; ;; ; ; — рівнобедрені прямокутні трикутники.Правильний шестикутник
На рисунку:
;; сторона а;; ;; ; — рівноcторонні трикутники;ABCD — рівнобічна трапеція з кутами
і ;, ;— рівнобедрений;; ;; .Діагональ
.Зверніть увагу: якщо з’єднати послідовно середини сторін правильного n-кутника, отримаємо правильний n-кутник (див. рисунки).
Якщо через вершини правильного n-кутника провести дотичні до описаного навколо нього кола, отримаємо правильний n-кутник.
Якщо з’єднати через одну вершини правильного 2n-кутника, отримаємо правильний n-кутник.
Довжина кола
Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто є одним і тим самим числом для будь-яких двох кіл.Це число позначається
., де l — довжина кола, R — радіус.Отже,
або ; — число ірраціональне, .Довжина дуги кола, яка відповідає центральному куту
: .Радіанна міра кута описана в розділі «Алгебра. 10 клас» («Тригонометрія»).
Немає коментарів:
Дописати коментар