Властивості площі фігур

Площі фігур

Геометричну фігуру називають простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.
Для простих фігур площа — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
• рівні фігури мають рівні площі;
• якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площі її частин;
• площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.
На рисунках, поданих нижче, зображені основні геометричні фігури; поруч даються формули їх площ.

Площі подібних фігур

Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Зокрема, для трикутників:
;
; .


Для кіл: .

Площа довільного чотирикутника

Площа паралелограма

Площа паралелограма обчислюється за формулою S = ha, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота.
Оскільки  (див. рисунок), то .
Із двох різних висот паралелограма більша та, яка опущена на меншу сторону.



AC = d1; BD = d2; 
; .
Трикутники AOB, BOC, COD, DOA мають рівну площу:

Площа прямокутника

;
;
d = AC;
,
де R — радіус описаного кола, R = AO.

Площа ромба

, .
У ромбі висоти дорівнюють одна одній.

;
d1 = AC, d2 = = BD;
, де r — радіус вписаного в ромб кола.

Площа квадрата

;
.

Площа трикутника

, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота.
Оскільки , то .
Висоти трикутника обернено пропорційні сторонам, на які вони опущені.
Зверніть увагу: більшій стороні трикутника відповідає менша висота, і навпаки.
, , де P — периметр трикутника, r — радіус вписаного кола.
, , де R — радіус описаного кола.
 — формула Герона.
p — півпериметр трикутника.

Площа прямокутного трикутника

Площа рівностороннього трикутника

.

Властивості медіани трикутника

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі (тобто такі, що мають однакову площу) трикутники.

.

Три медіани трикутника розбивають його на шість рівновеликих трикутників.
.

Площа трапеції

де h — висота, a, b — основи трапеції.

, де h — висота, m — середня лінія.
.
Якщо в трапецію можна вписати коло радіуса r, то , де P — периметр трапеції.

Деякі властивості трапеції

.

;
.

Якщо ;
.