Трапеції з цілими
сторонами та діагоналлями.
Знайти а)кути 4-кутника АВСD з точністю до секунди
б) середні лінії 4-кутника АВСD
в) площу 4-кутника АВСD; г)висоту трапеції.
|
||||||
№ завд
|
АВ бічна сторона
|
ВС верхня основа
|
CD бічна сторона
|
DA нижня основа
|
AC діагональ
|
BD діагональ
|
1
|
7
|
5
|
7
|
8
|
3
|
3
|
2
|
4
|
4
|
4
|
5
|
6
|
6
|
3
|
7
|
3
|
7
|
5
|
8
|
8
|
4
|
10
|
3
|
10
|
12
|
8
|
8
|
5
|
7
|
3
|
7
|
3
|
5
|
5
|
6
|
4
|
3
|
4
|
4
|
2
|
2
|
7
|
9
|
3
|
11
|
8
|
9
|
13
|
8
|
17
|
3
|
17
|
24
|
19
|
19
|
9
|
14
|
3
|
14
|
9
|
13
|
13
|
10
|
9
|
5
|
13
|
16
|
11
|
17
|
11
|
13
|
5
|
11
|
8
|
17
|
9
|
12
|
8
|
3
|
8
|
5
|
7
|
7
|
13
|
12
|
5
|
12
|
16
|
8
|
8
|
14
|
6
|
5
|
6
|
9
|
9
|
9
|
15
|
16
|
3
|
16
|
20
|
14
|
14
|
16
|
11
|
3
|
11
|
7
|
10
|
10
|
17
|
13
|
3
|
13
|
16
|
11
|
11
|
18
|
23
|
3
|
23
|
15
|
22
|
22
|
19
|
28
|
3
|
28
|
36
|
26
|
26
|
20
|
19
|
3
|
19
|
13
|
20
|
20
|
21
|
25
|
3
|
25
|
32
|
23
|
23
|
22
|
22
|
3
|
22
|
28
|
20
|
20
|
23
|
16
|
3
|
16
|
11
|
17
|
17
|
24
|
17
|
3
|
17
|
24
|
19
|
19
|
25
|
14
|
3
|
14
|
9
|
13
|
13
|
26
|
52
|
3
|
52
|
68
|
50
|
50
|
27
|
38
|
3
|
38
|
25
|
37
|
37
|
28
|
44
|
3
|
44
|
60
|
46
|
46
|
29
|
35
|
3
|
35
|
23
|
34
|
34
|
30
|
43
|
3
|
43
|
56
|
41
|
41
|
31
|
40
|
3
|
40
|
52
|
38
|
38
|
32
|
29
|
3
|
29
|
19
|
28
|
28
|
33
|
35
|
3
|
35
|
48
|
37
|
37
|
34
|
32
|
3
|
32
|
44
|
34
|
34
|
35
|
25
|
3
|
25
|
17
|
26
|
26
|
36
|
31
|
3
|
31
|
40
|
29
|
29
|
37
|
40
|
3
|
40
|
27
|
41
|
41
|
38
|
55
|
3
|
55
|
72
|
53
|
53
|
39
|
44
|
3
|
44
|
29
|
43
|
43
|
40
|
47
|
3
|
47
|
31
|
46
|
46
|
41
|
50
|
3
|
50
|
33
|
49
|
49
|
42
|
53
|
3
|
53
|
35
|
52
|
52
|
43
|
55
|
3
|
55
|
37
|
56
|
56
|
44
|
59
|
3
|
59
|
39
|
58
|
58
|
Чотирикутники
з цілими сторонами та діагоналями.
Знайти а)кути 4-кутника АВСD з точністю до секунди
б) середні лінії 4-кутника АВСD
в) площу 4-кутника АВСD
|
||||||
№ завд
|
АВ сторона
|
ВС сторона
|
CD сторона
|
DA сторона
|
AC діагональ
|
BD діагональ
|
1
|
2
|
1
|
3
|
4
|
2
|
4
|
2
|
2
|
3
|
8
|
8
|
2
|
10
|
3
|
3
|
4
|
4
|
4
|
2
|
7
|
4
|
4
|
3
|
4
|
4
|
2
|
7
|
5
|
2
|
4
|
6
|
6
|
3
|
8
|
6
|
3
|
1
|
8
|
9
|
3
|
9
|
7
|
3
|
3
|
7
|
5
|
3
|
8
|
8
|
3
|
3
|
5
|
7
|
3
|
8
|
9
|
2
|
3
|
17
|
14
|
4
|
16
|
10
|
2
|
3
|
2
|
4
|
4
|
4
|
11
|
25
|
26
|
26
|
25
|
3
|
48
|
12
|
8
|
9
|
9
|
9
|
3
|
17
|
13
|
7
|
5
|
8
|
7
|
3
|
13
|
14
|
6
|
6
|
17
|
16
|
3
|
22
|
15
|
5
|
7
|
7
|
8
|
3
|
13
|
16
|
5
|
4
|
4
|
5
|
3
|
8
|
17
|
5
|
3
|
24
|
23
|
3
|
27
|
18
|
4
|
5
|
5
|
4
|
3
|
8
|
19
|
4
|
3
|
6
|
7
|
3
|
9
|
20
|
4
|
2
|
6
|
6
|
3
|
8
|
21
|
3
|
5
|
23
|
24
|
3
|
27
|
22
|
3
|
4
|
7
|
6
|
3
|
9
|
23
|
2
|
4
|
2
|
3
|
4
|
4
|
24
|
2
|
4
|
8
|
6
|
4
|
8
|
25
|
2
|
5
|
29
|
30
|
4
|
32
|
26
|
3
|
2
|
14
|
17
|
4
|
16
|
27
|
3
|
4
|
14
|
12
|
4
|
15
|
28
|
3
|
5
|
5
|
3
|
4
|
6
|
29
|
3
|
6
|
8
|
9
|
4
|
12
|
30
|
4
|
1
|
4
|
6
|
4
|
5
|
31
|
4
|
1
|
15
|
16
|
4
|
16
|
32
|
4
|
2
|
6
|
8
|
4
|
8
|
33
|
4
|
3
|
12
|
14
|
4
|
5
|
34
|
4
|
3
|
31
|
28
|
4
|
32
|
35
|
4
|
5
|
10
|
4
|
4
|
12
|
36
|
4
|
6
|
6
|
5
|
4
|
9
|
37
|
4
|
6
|
16
|
16
|
4
|
20
|
38
|
5
|
2
|
30
|
29
|
4
|
32
|
39
|
5
|
3
|
3
|
5
|
4
|
6
|
40
|
5
|
4
|
10
|
7
|
4
|
12
|
41
|
6
|
4
|
5
|
6
|
4
|
9
|
42
|
6
|
3
|
9
|
8
|
4
|
12
|
43
|
6
|
8
|
8
|
8
|
4
|
14
|
44
|
7
|
7
|
9
|
7
|
4
|
14
|
СКЛАДАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
Задачі є невід'ємною частиною курсу
геометрії в середній школі. Розв'язування геометричних задач є прекрасною
формою повторення та закріплення вивченого теоретичного матеріалу. Задачі відіграють важливу роль в
справі розвитку просторових уявлень, логічного
мислення і творчої ініціативи учнів.
Для успішного засвоєння курсу
стереометрії учні повинні розв'язати достатню кількість стереометричних задач
всіх видів: на обчислення, на доведення, на побудову. На жаль, жоден з існуючих
задачників з стереометрії не містить потрібної кількості вправ всіх видів.
Зокрема стабільний задачник з геометрії
Н. Рибкіна
також не відзначається повнотою. Майже всі задачі цього збірника є задачами
на обчислення, причому в основному в ході розв'язування задач геометричні міркування
відіграють другорядну
роль, центр ваги перенесено на алгебраїчні перетворення. Задач на побудову дуже
мало.
Тому вчитель у процесі роботи не може
обійтися яким-небудь одним задачником. Йому доводиться мати справу з кількома
посібниками і робити відбір вправ по кожній темі шкільного курсу стереометрії.
Існуючі збірники стереометричних
задач (стабільний і додаткові), як правило, містять порівняно невелику
кількість вправ до певної теореми, причому вправ так званої «середньої складності». Проте класи бувають підготовлені
по-різному, та й в межах одного класу завжди є група учнів, які легко
розв'язують задачі середньої складності, але є ті
учні, для яких такі задачі (постійно чи протягом певного часу) важкі. Щоб учитель
міг проводити індивідуальну роботу з учнями даного класу, міг врахувати рівень
підготовки учнів паралельних класів, мав змогу підібрати вправи для повторення
(вкінці чверті, навчального року) та для контрольних робіт (при багатьох
варіантах) і екзаменів, йому доведеться самостійно складати стереометричні
задачі до тієї чи іншої теми курсу.
У методичній літературі питання
складання задач майже не висвітлене, тому значна частина учителів перебільшує
труднощі, зв'язані з складанням геометричних задач, вважаючи, що це надто
складна справа, якою учителеві не варто займатися. Ми дотримуємось іншої думки.
Оскільки без складання задач обійтися не можна, то варто
обізнатися з прийомами складання задач. Після деякої тренувальної роботи
кожний учитель зможе в більшості випадків скласти потрібні йому вправи.
Нижче автор подає свій досвід складання
геометричних задач.
Найчастіше застосовується зміна числових
даних або варіювання умови готової задачі.
В деяких випадках зміна числових даних
може бути здійснена без особливих обмежень (переведення градусів і мінут в
частини прямого кута або в радіани, визначення довжини дуги за її градусною
величиною та радіусом, обчислення сторін многокутника за їх відношенням та
периметром многокутника і т. д.). Інакше стоїть справа, коли величини, які
треба підібрати, зв'язані певними залежностями і повинні задовольняти деякі
додаткові умови.
Нехай, наприклад, ми хочемо підібрати
числові дані до задачі:
«Кут
між бічними ребрами
піраміди МА = а і 
МВ = b дорівнює 60°, а кут між проекціями цих ребер на площину
основи піраміди дорівнює 120°. Визначити висоту піраміди».
МВ = b дорівнює 60°, а кут між проекціями цих ребер на площину
основи піраміди дорівнює 120°. Визначити висоту піраміди».
Розв'язавши задачу в загальному вигляді,
знаходимо: Н = ? Якщо ми хочемо дістати
цілочисловий результат (при цілих а та b),
то надавати а та b довільних
натуральних значень не можна. Наприклад, при а = 4, b
= 5 дістанемо: Н = ? Але при а = 13,
b = 14 матимемо Н = 11.
Такий вдалий підбір числових даних може
виявитися щасливою знахідкою, тому бажано добиватися планомірності шукань.
Тоді, маючи кілька варіантів числових даних, можна вибирати з них найбільш
прийнятні.
При цьому, як
правило, слід підбирати дані не до окремої задачі, а до групи задач, тобто
розглядати в загальному вигляді групу зв'язаних між собою величин: сторони і
площу трикутника, сторони та діагоналі паралелограма, виміри та діагональ
прямокутного паралелепіпеда і т. д.
В такому випадку робота по складанню
задач розпадається на дві частини. Спочатку треба встановити типи задач, які
відповідають виучуваному питанню. Нехай, наприклад, ми підбираємо вправи до
теореми Піфагора. Мова може йти про 6 лінійних елементів: а,
b, с, ас, bc, hс (тобто про катети, гіпотенузу, проекції катетів на гіпотенузу та про висоту,
проведену до гіпотенуз!!). Для
розв'язування трикутника досить знати
два з цих елементів; тому початковими даними можуть бути: 1) а, b;
2) а, с; 3) b, с; 4) а, hс; 5) b, hс; 6) с, hс; 7) a, ас; 8) а, bc; 9) b, ас; 10) b, bс; 11) с, ас; 12)
с, bс; 13)
ас, bc; 14)
ас, hс; 15) bc,
hс.
З цих 15-ти типів треба виключити ті, які повторюють попередні
(наприклад b, с принципово не відрізняється від а, с). Тоді
залишаться типи 1, 2, 4, б, 7, 8, 13, 14. Це означає, що дані про деякий
прямокутний трикутник можуть дати матеріал для 8 задач, що відрізняються одна
від одної початковими даними.
СКЛАДАННЯ ЗАДАЧ НА ПАРАЛЕЛОГРАМИ
У більшості
випадків при складанні задач на паралелограми та паралелепіпеди з цілими довжинами сторін та діагоналей досить мати
паралелограм, у якого тільки сторони та діагоналі виражені цілими числами; а
чи виражається площа паралелограма раціональним числом чи ні, для автора задачі немає значення.
Наприклад
текст задачі
«Площі діагональних перерізів та бічна поверхня прямого паралелепіпеда
відповідно дорівнюють 246 см2, 510 см2 та 1092 см2.
Знаючи, що площа основи на 972 см2 більша від площі меншої бічної
грані паралелепіпеда, знайти його
об'єм».
Зважаючи на те, що подібні
задачі, в яких можуть бути використані дані про такі паралелограми, досить
різноманітні, тому таблиця 1 для автора задач стає в нагоді.
Таблиця
1. Таблиця цілочисельних паралелограмів
|
а
b
d1
d2
|
4
7
7
9
|
5
10
9
13
|
6
7
7
11
|
6
13
11
17
|
7
9
8
14
|
7 11 12 14
|
7
16 13 21
|
7 22 21 25
|
8
9
11
13
|
8 11
9 17
|
8 19 15 25
|
8 27
25 31
|
9 ІЗ 10 20
|
9 17
16 22
|
9
19 20 22
|
9
22 17 29
|
10
11
9
19
|
10 15 11
23
|
10 15 17 19
|
10 23 23 27
|
10 25 19 33
|
11 12 13 19
|
11 13 16 18
|
||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а
b
d1
d2
|
11
16 15 23
|
11
17
12
26
|
11
18
19
23
|
11
23
20
30
|
11
27
26
32
|
11
29
30
32
|
12
19
13
29
|
13
14
17
21
|
13 16 15 25
|
13 16 11 27
|
13 18 19 25
|
13 19 22 24
|
13
21 11 32
|
13
24 23 31
|
13 26 27 31
|
13 29 24 38
|
14 17 21 23
|
14 23 15 35
|
14
27 25 35
|
15
16 11
29
|
15 20 17 31
|
15 23 22 32
|
15 25 26 32
|
||||
|
а
b
d1
d2
|
15 25 26 38
|
15
26
29
31
|
16
17
19
27
|
16
21
13
35
|
16
23
27
29
|
16
27 17
41
|
17
19
20
30
|
17
19
12
34
|
17 20 17 33
|
17 21 26 28
|
17 24 19 37
|
17 26 29 33
|
17 28 25 39
|
17 29 18 44
|
17 30 23 43
|
18 19 23 29
|
18
25 23 37
|
18 29 31 37
|
19
22 13 39
|
19 22 27 31
|
19 23 22 36
|
19 25 26 36
|
19
26 15 43
|
||||
|
а
b
d1
d2
|
19 27 32 34
|
19
28
21
43
|
19
30
29
41
|
20
29
31
39
|
21
22
25
35
|
21
22
13
41
|
21
23
28
34
|
21
25
14
44
|
22 29 21
47
|
22 29 25 45
|
23 24 19 43
|
23 24 23 41
|
23
24 29 37
|
23 27 20 46
|
23 28 15 49
|
23 29 36 38
|
24 29 25 47
|
26 29 15 53
|
27 28 25 49
|
27 29 32 46
|
28 29 15 55
|
28 29 21 53
|
28 29 35 45
|
||||
В існуючих збірниках геометричних задач
використано незначну частину даних цієї таблиці. Проте вона дає дані для
складання, наприклад, таких планіметричних задач:
1.
Одна
з сторін паралелограма дорівнює його діагоналі. Знайти цю сторону, якщо друга
сторона і друга діагональ відповідно дорівнюють а та b
(наприклад, а = 4, b = 9; a = 6, b = 11; а = 10, b = 27; а = 20, b
= 33; а = 24, b = 41).
2.
Сторони
та діагональ паралелограма становлять арифметичну прогресію з різницею а. Знайти сторони (периметр)
паралелограма, якщо друга діагональ паралелограма дорівнює b (наприклад, а = 1, b = 19; а = 11, b
= 25; а = 13, b = 23; а = 11,
b = 29).
3.
Сторона
та діагоналі паралелограма становлять арифметичну прогресію з різницею а.
Знайти діагоналі (або периметр) паралелограма, якщо друга сторона його
дорівнює b (наприклад, а = 4, b
= 10; а = 2, b = 8; а = 6, b
= 18).
4.
Одна
з діагоналей паралелограма є середнє арифметичне його сторін, а друга вдвоє
більша від однієї з його сторін. Визначити сторони (або діагоналі)
паралелограма, знаючи, що периметр його дорівнює 32 см.
5. Знайти діагоналі паралелограма за
його сторонами та різницею (або відношенням) діагоналей.
6. Знайти сторони паралелограма за його
діагоналями та периметром (або різницею сторін, або відношенням сторін).
7. Діагоналі
паралелограма АВСD перетинаються в
точці О. Знайти діагоналі паралелограма, якщо периметри трикутників АBО і ВСО та периметр паралелограма відповідно
дорівнюють Р1, Р2 та Р3 (наприклад, 16 см, 21
см
та 30 см; 20 см, 27 см та 38 см; 3 дм 4
дм та 56 см і т. д.).
9. Одна з
діагоналей паралелограма більша від сторін його відповідно на а
та b, але менша від другої діагоналі на с. Визначити
сторони (або периметр, або діагоналі) паралелограма.
10. Бісектриса
внутрішнього кута паралелограма поділяє одну з його сторін на відрізки по 5 дм,
а діагональ -
на відрізки 3 дм та 6 дм. Визначити другу діагональ паралелограма.
Таблицю 1
зручно використовувати і при складанні задач на медіани трикутника.
В стереометрії таблицю 1
використовують для складання задач на прямі паралелепіпеди. Справа в тому, що,
як легко показати, між площами бічних граней і площами діагональних
перерізів паралелепіпеда існує таке саме співвідношення, як між сторонами і
діагоналями паралелограма. Тому цілком доречні, наприклад, такі задачі.
1.
Площі
двох бічних граней паралелепіпеда дорівнюють 45 см2 та 65 см2,
а площі діагональних перерізів відносяться, як 1:2. Визначити площі
діагональних перерізів.
2.
Площі
діагональних перерізів паралелепіпеда дорівнюють 162 см2 та 186 см2.
Знайти бічну поверхню паралелепіпеда, знаючи, що одна з бічних граней в два
рази більша від суміжної бічної грані.
3.
Площі
бічних граней трикутної призми дорівнюють 85 см2, 95 см2
та 1 дм2. Знайти площу перерізу, проведеного через центр більшої
бічної грані та протилежне бічне ребро.
Але таблиця 1
дає матеріал і про діагоналі прямого паралелепіпеда. Розглянемо, наприклад,
таку задачу: «Визначити бічну поверхню прямого паралелепіпеда, у якого діагоналі
дорівнюють m та n, а сторони основи а та b». Нехай ми вибрали за основу
паралелепіпеда паралелограм, сторони якого дорівнюють 11 см та 16 см, а
діагоналі 15 см та 23 см. Тоді m2 - m2 =
232 - 152
= 304, тобто (m + n)(m - n)
= 304. Припустивши, наприклад, що m + n дорівнює 76, знаходимо: m
- n = 4, тобто m
=
40, n = 36. Правда, при такому підборі, як правило,
висота паралелепіпеда виражається ірраціональним числом. Якщо цього бажають
уникнути, то, вибравши основу паралелепіпеда, надають його висоті такого
значення, щоб одна з діагоналей виражалась цілим числом. В розглянутому
прикладі, поклавши висоту паралелепіпеда H
= 20 см, дістанемо для діагоналей паралелепіпеда значення 25 см та 29 см.
При складанні задач на прямокутні
паралелепіпеди використовується таблиця 2, що дає матеріали про виміри та
діагональ прямокутного паралелепіпеда. Як відомо, між цими величинами існує залежність
а2 + b2 + с2
= d2. Тому таблицю 2
можна використовувати в усіх випадках, коли між величинами, що входять в умову
задачі, існує таке співвідношення.
Таблиця 2.
Цілі довжини вимірів і діагоналей прямокутного паралелепіпеда
|
а
|
1
|
2
|
4
|
1
|
2
|
6
|
3
|
2
|
1
|
8
|
1
|
6
|
6
|
4
|
4
|
4
|
8
|
3
|
3
|
|
b
|
2
|
3
|
4
|
4
|
6
|
6
|
4
|
5
|
12
|
9
|
6
|
6
|
10
|
5
|
8
|
13
|
11
|
6
|
14
|
|
с
|
2
|
6
|
7
|
8
|
9
|
7
|
12
|
14
|
12
|
12
|
18
|
17
|
15
|
20
|
19
|
16
|
16
|
22
|
18
|
|
d
|
3
|
7
|
9
|
9
|
11
|
11
|
13
|
15
|
17
|
17
|
19
|
19
|
19
|
21
|
21
|
21
|
21
|
23
|
23
|
(Продовження табл. 2)
|
а
|
6
|
9
|
12
|
2
|
2
|
2
|
7
|
10
|
3
|
11
|
12
|
5
|
6
|
6
|
14
|
1
|
4
|
8
|
8
|
|
b
|
13
|
12
|
15
|
7
|
10
|
14
|
14
|
10
|
16
|
12
|
16
|
6
|
14
|
21
|
18
|
8
|
7
|
8
|
20
|
|
с
|
18
|
20
|
16
|
26
|
25
|
23
|
22
|
23
|
24
|
24
|
21
|
30
|
27
|
22
|
21
|
32
|
32
|
31
|
25
|
|
d
|
23
|
25
|
25
|
27
|
27
|
27
|
27
|
27
|
29
|
29
|
29
|
31
|
31
|
31
|
31
|
33
|
33
|
33
|
33
|
|
а
|
1
|
6
|
15
|
3
|
3
|
8
|
12
|
2
|
2
|
10
|
13
|
14
|
19
|
4
|
4
|
9
|
12
|
23
|
|
b
|
18
|
10
|
18
|
8
|
24
|
24
|
21
|
19
|
26
|
14
|
14
|
22
|
22
|
12
|
24
|
24
|
24
|
24
|
|
с
|
30
|
33
|
26
|
36
|
28
|
27
|
28
|
34
|
29
|
35
|
34
|
29
|
26
|
39
|
33
|
32
|
31
|
24
|
|
d
|
35
|
35
|
35
|
37
|
37
|
37
|
37
|
39
|
39
|
39
|
39
|
39
|
39
|
41
|
41
|
41
|
41
|
41
|
Немає коментарів:
Дописати коментар