Площа многокутників. Розв’язування задач

Конспект уроку на тему "Площа многокутників. Розв’язування задач"

     Мета: узагальнювати та систематизувати знання формул площ фігур; формувати уміння та навички застосовувати їх під час розв'язування задач з теми «Площа многокутників»; повторювати властивості та ознаки чотирикутників; розвивати математичне мовлення, увагу, самостійність та об'єктивність у виборі змісту домашнього завдання відповідного рівня складності; виховувати пізнавальний інтерес до вивчення предмета, прагнення до самовираження у поєднанні з толерантним ставленням до інших.

     Обладнання: комп'ютер (презентації), телевізор, роздатковий дидактичний матеріал — індивідуальні картки.

ХІД УРОКУ

     I. Організаційна частина

Перевірка готовності учнів до уроку.

     II. Перевірка домашнього завдання

     Задача 1. За готовим рисунком 1 знайти площу трапеції АВСD. Пояснити, як знайшли висоту АН.

     Розв'язання:

Рис. 1

     У трикутнику АDН із прямим кутом Н проти кута 30° лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи.

     Отже, АН = 4 см.

      (см2).

     Задача 2. За готовим рисунком 2 знайти площу трапеції АВСD. Пояснити, як знайшли висоту і більшу основу трапеції.

     Розв’язання:

Рис. 2

      (см2).

     Задача 3. Кожній зображеній фігурі (додаток 1) поставити у відповідність формулу обчислення площі (додаток 2).

(Список формул надається учневі, якщо у нього виникають проблеми виконати завдання самостійно!)

Додаток 1

Додаток 2

.

ІІІ. Повідомлення теми і мети уроку

IV. Актуалізація опорних знань

     Усно розв’язати задачі за готовими рисунками.

     Задача 1. Знайти SAKD, якщо SABCD=80 см2, а ВМ=МС.

1. Які властивості площі застосовуються в цій задачі?

2. Що необхідно довести, щоб розв’язати задачу? (Рис. 3)

Рис. 3

     Відповідь: 80 см2.

     Задача 2. Знайти SABCD.

1. Що необхідно знайти, щоб обчислити площу фігури? (Рис. 4)

Рис. 4

     Відповідь: 28 см2.

     Задача 3. Знайти SABCD.

1. За якою формулою можна обчислити площу цієї фігури? (Рис. 5)

Рис. 5

     Відповідь: 24 см2.

     Задача 4. Знайти SMKNP, якщо відомо, що КМ=KN=NP=PM, MN=3 см, КР= 6 см. (Рис. 6)

1. Що це за фігура?

2. Як знайти її площу?

Рис. 6

      Відповідь: 9 см2.

     Задача 5. Знайти , якщо АМ=MD=DC (Рис. 7).

1. На якому теоретичному факті заснована ця задача?

2. Яка умова повинна виконуватися, щоб дати відповідь на запитання?

Рис. 7

     Відповідь: .

     Задача 6. Знайти  (Рис. 8).

1. На якому теоретичному факті основана ця задача?

2. Яка умова повинна виконуватися, щоб дати відповідь на запитання?

Рис. 8

     Відповідь: .

     Задача 7. Знайти SABCD, якщо АЕ=ВЕ, CF=FD (Рис. 9).

1. За допомогою якої формули обчислюється площа трапеції?

2. Чим є на рисунку EF? Яку властивість вона має?

Рис. 9

     Відповідь: 40 см2.

     Задача 8. Знайти SABCD.

1. Що в цій задачі достатньо знайти, щоб її розв’язати? (Рис. 10)

Рис. 10

     Відповідь: 30 см2.

V. Розв’язування вправ

     Розв’зування комбінованої задачі передбачає:

·                   диференціацію (у роботі беруть участь учні з достатнім та високим рівнями навчальних досягнень);

·                   нестандартний підхід у поданні матеріалу;

·                   ігрову ситуацію з елементами пошуку та аналізу.

     На дошці малюнок «Корабель». Учні по черзі виходять до дошки, називають фігуру, яку розглядають, називають формулу для знаходження площі цієї фігури, виконують обчислення, записують відповідь.

     Задача 9. Знайти Sфігури. Відомо, що AV=VH, НЕ=EN, BH=CK, SRSQ=SVNH (Рис. 11).

     Розв’язання:

     1. Чи є всі дані для обчислення площі чотирикутника ABCD?

Рис. 11

2. Що це за фігура? (Трапеція ABCD.)

3. Що необхідно знайти для знаходження площі трапеції? (Основи і висоту.)

4. З якої фігури почнемо розв’зувати задачу? (З трикутника SQR.)

 (см2).

5. Яка наступна фігура? (Ромб ELPM.)

6. Яким чином ви визначили, що це ромб? (Ознака ромба за діагоналями.)

 (см2).

7. Як знайти ЕМ? (Використаємо другу формулу для обчислення площі ромба через основу і висоту.)

SELPM=LS1∙EM;

24=4EM;

ЕМ=6 см.

8. Яку фігуру розглядатимемо далі? (Прямокутник HEFD.)

9. Як знайти виміри HEFD?

EF=EM+MF=6+4=10 см.

DM – бісектриса кута FDK, ∠FDK=45°, ∠F=90°.

Отже, ∠FMD=45°.

ΔMFD – рівнобедренний з основою MD, FD=FM=4 см.

Тоді ЕН=FD=4 см.

10. Якими будуть ваші подальші міркування? (Можна знайти NH=8 см, розглянути трикутники NVH i NHA.)

За умовою задачі SRSQ=SVNH=6 см2. За теоремою про відношення площ двох трикутників, що мають рівні кути:  см2.

Звідси можна знайти АН: ; АН=3 (см).

11. Чи можна перейти до розгляду трапеції ABCD? (Так.)

AD=AH+HD=3+10=13 см; HD=EF=10 см; ΔAHB – рівнобедренний з основою АВ. АН=ВН= 3 см – висота трапеції ABCD. Тоді

 (cм2).

     Зауваження: під час розв’язування комбінованої задачі класом з учням із початковим та середнім рівнями навчання запропоновані 6 задач ( кожна на одну формулу). До них додається набір формул, які можна використати під час розв’язування цих задач.

Зразки карток

     І варіант

.

1. Сторона трикутника 10 см, а висота, проведена до неї, 11 см. Знайдіть площу цього трикутника. (55 см2.)

2. Діагоналі ромба дорівнюють 7 см і 8 см. Знайдіть площу ромба. (28 см2.)

3. Основи трапеції дорівнюють 7 см і 11 см, а висота — 5 см. Знайдіть площу трапеції. (45 см2.)

4. Сторона паралелограма 8 дм, а висота, що проведена до неї, 9 дм. Знайдіть площу паралелограма.(72 дм2.)

5. Знайдіть площу квадрата зі стороною 13 см. (169 см2.)

6. Знайдіть площу прямокутника зі сторонами 3,2 см і 5 см. (16 см2.)

     ІІ варіант

.

1. Знайдіть площу прямокутника, якщо його сторони дорівнюють 5 см і 3 см. (15 см2.)

2. Сторони паралелограма 8 дм, а висота, що проведена до неї, 5 дм. Знайдіть площу паралелограма. (40 дм2.)

3. Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює 4 см. (8 см2.)

4. Діагоналі ромба дорівнюють 13 см і 4 см. Знайдіть площу ромба (26 см2.)

5. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 8 см, а висота – 11 см. Знайдіть площу трапеції. (77 см2.)

6. Знайдіть площу прямокутного трикутника з катетами 3 см і 4 см. (6 см2.)

VI. Підбиття підсумків уроку

Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок з теми: «Площі многокутників». Повторення властивостей та ознак чотирикутників.

VII. Домашнє завдання (диференційоване)

І варіант (початковий і середній рівні)

1. Середня лінія трапеції дорівнює 23 см, висота – 10 см. Знайти площу трапеції.

2. Площа трикутника 85 м2, а його висота – 17 м. Знайти сторону трикутника, до якої проведена висота.

ІІ варіант (достатній рівень)

1. Площа трапеції дорівнює 84 см2, а висота – 8 см. Знайти основи трапеції, якщо одна з них на 5 см більша за другу.

2. Сторони паралелограма дорівнюють 21 см і 12 см, а менша висота 4 см. Знайти більшу висоту.

ІІІ варіант (високий рівень)

1. У паралелограмі бісектриса кута, що дорівнює 30°, ділить його сторону на відрізки 24 см і 16 см, починаючи від вершини тупого кута. Знайти площу паралелограма.

2. У ромбі діагоналі відносяться як 3:5. Знайти діагоналі ромба, якщо його площа 32 см2.

Використані джерела

1. Геометрія: підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл./М.І. Бурда, Н.А. Тараенкова. – К.: Зодіак ЕКО, 2008.

2. Бурда М.І. Савчанко Л.М. Геометрія: навч. посіб. для 8-9 кл. шк. З поглибл. вивченням математики. – К.: Освіта, 1996.

3. Гаук М.М., Зубович Л.В. Самостійні та контрольні роботи. Геометрія. 8 клас. – Тернопіль: Навчальна книга. – Богдан, 1998.

4. Капіносов А.М. Геометрія. 8 клас. Дидактичні матеріали для різнорівневого навчання. – Дніпропетровськ, 1996.

Розв’язування задач з теми "Ознаки подібності трикутників"

Геометрія 9 клас

1. Календарно-тематичне планування з геометрії
2. Конспект уроку на тему "Площа многокутників. Розв’язування задач"
3. Конспект уроку на тему "Симетрія відносно точки і прямої"
4. Конспект уроку на тему "Розв’язування задач з теми "Ознаки подібності трикутників"

Властивості висот трикутника

Ортоцентр — точка де перетинаються три висоти трикутника

Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини кута до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони і лежить на прямій, перпендикулярній до цієї сторони. Ця сторона називається основою трикутника. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Довжина висоти — це відстань від вершини до основи трикутника.

Висоту використовують для обчислення площі трикутника: половина добутку довжини висоти на довжину основи дорівнює площі трикутника.

де h — висота трикутника, опущена на сторону.

В рівнобедреному трикутнику (трикутник в якому дві сторони конгруентні) висота проведена до неконгруентної сторони ділить цю сторону на дві рівні частини. В прямокутному трикутнику висота опущена на гіпотенузу ділить її на два відрізки, нехай це буде p і q. Якщо ми позначимо довжину висоти літерою h то отримаємо співвідношення:

Три висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут). Дивіться також ортоцентрична система.

  Висота трикутника – це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. Трикутник має три висоти, які позначають h_a, h_b, h_c. Запам’ятайте, з вершини А проходить висота h_a, з вершини В опускається висота h_b, а з вершини С виходить висота h_c.

Зауваження. 1.  Прямі що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці (ортоцентр). У прямокутному трикутнику ця точка співпадає з вершиною прямого кута, у тупокутному трикутнику ортоцентр знаходиться зовні трикутника за вершиною тупого кута, в гострокутному трикутнику ортоцентр знаходиться в середині трикутника ближче до вершина більшого кута. У прямокутному трикутнику дві висоти співпадають з двома короткими сторонами(катетами) трикутника, ортоцентр співпадає з вершиною прямого кута. У тупокутного трикутника дві висоти лежать зовні трикутника, а третя найкоротша висота лежить всередині трикутника.

Властивості висот трикутника

 1. Найбільша висота трикутника проведена до його найкоротшої сторони, а найменша висота до найдовшої сторони цього трикутника.

2. Висоти трикутника обернено пропорційні його сторонам

(1/a) :(1/b) :(1/c) =h_a:h_b :h_c

2. Кут між висотою та бісектрисою, що проведені з однієї вершини, рівний піврізниці двох інших кутів цього трикутника.
3. За трьома висотами можна відновити трикутник.
4. Якщо відомими сторонами трикутника можна обчислити його висоти.

7.Між висотами та радіусом вписаного кола існує залежність 1/r  = 1/h_a +1/h_b + 1/h_c

Практична частина заняття.

Завдання для вироблення умінь та навичок використовувати властивості

 

1. Кути трикутника відносяться, як 2:3:4. Розмістити  в порядку зростання довжини висот. Чи можуть висоти перетинатися за межами трикутника?

2. Накресли прямокутний рівнобедрений трикутник. Проведи в ньому три висоти. Які висоти  рівні половині найбільшої сторони трикутника? Чому?

3. Висота трикутника утворює з прилеглою сто­роною кут 89°, а інша висота з протилежною стороною утворює теж кут 1°. Який вид цього трикутника?

4. Трикутники АВС і МАВ рівні, Чи рівні відповідні висоти цих трикутників?

5. АВС= КМN, К=90°, М=60°. Знайди всі кути трикутника АВС, що утворилися в результаті перетину висот.

6. Один з кутів трикутника дорівнює 20°, а один з двох інших в 4 рази більший другого. Яка найменша висота трикутника.

7. У рівнобедреного трикутника АВС знайди довжини висот, якщо бічна СВ = 43 м, АВ = 10 м.

9. Кут між висотою і стороною, що проведені з однієї вершини рівнобедреного трикутника, дорівнює 10°, а один з двох інших кутів трикутника дорівнює 70°. Знайди усі  невідомі кути в середині трикутника, що утворилися в результаті перетину висот.

10. Знайди вид прямокутного трикут­ника, якщо у нього є дві рівні висоти.

 

11. Обчислити довжини  висот трикутника, знаючи, сторони трикутника: 1) 2, 8, 4; 2) 4, 3, 5; 3) 2, 3, 5;, 4) 2, 7, 3; б) 8, б, 5. Знайти довжини відрізків, на які ділиться кожна сторона трикутника висотою.

12. Скільки рівних висот у тупокутного різностороннього трикутника. Накресліть будь-який тупокутний різносторонній трикутник та точку перетину висот.

13. Висота, що проведена до основи рівнобедреного три­кутника нахилена до його основи під кутом ..... . Знайти види таких трикутників. Скільки розв’язків має задача?

14. У трикутника три рівні висоти. Який вид цього трикутника?

15. У трикутника висота  ділить  сторону навпіл . Чи може цей трикутник бути прямокутним?( Тупокутним? Гострокутним?)

16. Периметр рівнобедреного трикутника 18 см, біч­на сторона на 3 см довша від основи.   Знайти   висоти  цього трикутника.

Завдання для самостійного закріплення умінь та навичок досліджувати та аналізувати навчальний матеріал

1.Якого  виду трикутник можна утворити, маючи три висоти рівностороннього (рівнобедреного  та різностороннього) трикутника?

2.На скільки тупокутних трикутників можуть поділити прямокутний  трикутник дві  його висоти?

3.Чи завжди будь-які три відрізки можуть бути висотами трикутника?

4.Чи відповідні висоти нерівних трикутників можуть виявитися  рівними?

5.Відновити на довільному тупокутному трикутнику висоти стандартного трикутника. Виміряти їх та знайти суму їх, порівняти з периметром трикутника.

6. Визначити довжини висот трикутників, у яких величини сторін: а)46м, 46м, 19м. б)35м,35м,35м. в) 7м, 7м, 9м?

 7.Скільки тупокутних трикутників можна утворити висотами рівностороннього трикутника?

 8.Чи існують трикутники, у яких до найменшої сторони проведена найменша за довжиною висота?

9.Яка середня за величиною висота в трикутнику АВС, якщо:

 1) а = 51 см; b =36 cм, с = 47 см?

 2) а = 68 см; b = 56 cм, с = 58 см?

 3) а = 5 см; b = 8 cм, с = 7 см?

4) а = 58 см; b = 58 cм, с = 59 см?

5) а = 5 см; b = 5 cм, с = 5 см?

Запишіть висоти в порядку спадання. Знайти довжини сторін, на які ділиться кожна сторона трикутника висотою.

 10. З ЯКОГО КУТА ПРОВЕДЕНА найбільша висота в трикутнику АВС, якщо

1)   35⁰ ,    78⁰?

1)   45⁰ ,    130⁰ ?

1)   74⁰  ,   59⁰?

1)   97⁰  ,   18⁰?

1)   45⁰ ,     67⁰ ?

1)   72⁰,     78⁰?

Запишіть висоти цих трикутників у порядку зростання, не шукаючи їх довжини.

Задачі для самостійних дослідів учнів.

1.Чи існує вид прямокутного трикутника, щоб довжина його найменшої сторони була рівна довжині висоти, що проведена до найбільшої сторони?

2.Які існують  види трикутників , у яких усі висоти різні? Замалювати кожний можливий випадок.

Фронтальне опитування

Які основні  властивості висот трикутника ми вивчаємо напам’ять? Як їх формулюють? Які властивості співвідношень у сторін та висот трикутника?