Задача про трикутник на площині

Досить часто на практичних заняттях доводиться обчислювати задачу про трикутник на площині. Суть її полягає в тому, що відомо три точки, які не лежать на одній прямій - утворюють трикутник. Потрібно скласти рівняння сторін, висот, медіан і бісектрис, також часто і кути між сторонами трикутниа. Завдання не складні в плані обчислень, проте добре потрібно знати властивості векторного та скалярного добутку. Нижче наведена схема обчислення трикутника на площині.
Також вкінці для Вас бонус - математичний калькуятор під відовс, який обчилює задачу про трикутник на площині на автоматі. Достатньо лише ввести три точки і за секунду любуватися результатом. Скачати калькулятор можуть всі, його розповсюдження є безкоштовним.

Приклад 1. На площині задано трикутник  з вершинами
, , .

Потрібно знайти:

1) довжину сторони 

2) скласти загальне рівняння медіани, висоти та бісектриси кута ;

3) знайти відстань від вершини  до медіани;

4) знайти кут між медіаною і висотою (у градусах).

Розв'язок.
1) Довжина сторони 

2) Загальне рівняння медіани, висоти та бісектриси кута 
Побудуємо рівняння медіани, яка ділить протилежну сторону пополам в точці . Знайдемо її

Побудуємо загальне рівняння прямої, що проходить через точки  та 

При підстановці точок отримаємо систему двох рівнянь

Віднімемо від першого рівняння друге

Отримане значення підставляємо в перше рівняння

.

Рівняння 

Остаточне рівняння медіани матиме вигляд

.

Складемо загальне рівняння висоти 

Для цього знайдемо кутовий коефіцієнт сторони 

Кутовий коефіцієнт висоти, проведеної з вершини  рівний

Рівняння висоти, що проходить через точку  має вигляд

 

Знайдемо рівняння бісектриси  За означенням бісектриса ділить кут пополам, тому  де

З рівності кутів випливає залежність для визначення рівняння бісектриси

Знайдемо складові рівняння

Підставимо знайдені значення у рівняння

або після спрощень

 

3) відстань від вершини B до медіани Знайдемо відстань від вершини  до медіани  за форомулою

4) Кут між медіаною і висотою

Маємо дві точки медіани  і рівняння висоти . Виберемо другу точку  з рівняння висоти: , знаходимо. Обчислимо

Знайдемо косинус кута між векторами

https://sites.google.com/site/geometryvspu/osnovi-geometriie/teoreticnij-material